【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(3,0).P為該拋物線上一動點,設點P的橫坐標為m.
(1)求拋物線的解析式.
(2)將該拋物線沿y軸向下平移AB個單位長度,點P的對應點為P′,若OP=OP′,求△OP P′的面積.
(3)如圖2,連接AP,BP,設△APB的面積為S,當-2≤m≤2時,直接寫出S的最大值.
【答案】(1);(2)或;(3)S的最大值為5
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)先根據(jù)A,B的坐標求出AB的長度,進而可求出拋物線平移的距離,根據(jù)OP=OP′可得出x軸是PP′的垂直平分線,從而可知P點的縱坐標,代入拋物線的解析式中即可求出相應的橫坐標,最后利用面積公式即可求解;
(3)設點P的縱坐標為y,根據(jù)題意得,然后分兩種情況,當點P在x軸上方時和點P在x軸下方時,分別求出y的最大值,進而分別求出S的最大值,最終即可確定答案.
解:(1)將代入中,得
解得
∴則該拋物線的解析式為;
(2)∵,
∴AB=4,
,
∴拋物線是向下平移了2個單位長度, PP′=2.
∵OP=OP′
∴x軸是PP′的垂直平分線,
∴點P的縱坐標為1.
當y=1時,,
解得 ,
∴ 或,
∴△O PP′的面積為或;
(3)S的最大值為5,理由如下:
將拋物線轉換成頂點式,得.
設點P的縱坐標為y,
由題意得,
當點P在x軸上方時,m=1時,取最大值,
∵當時,,
∴S的最大值為;
當點P在x軸下方時,時,取最大值,
∵當時, ,
∴S的最大值為;
∴當 時,S的最大值為5.
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【題目】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),設慢車行駛的時間為,兩車之間的距離為),圖中的折線表示與之間的函數(shù)關系,根據(jù)圖象進行探究:
(1)甲、乙兩地之間的距離為 ;
(2)請解釋圖中點的實際意義:__________;
(3)求線段所表示的與之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍.
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【題目】如圖,在ABCD中,點E、F分別在邊AB和CD上,下列條件不能判定四邊形DEBF一定是平行四邊形的是( )
A.AE=CFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB
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【題目】央視熱播節(jié)目“朗讀者”激發(fā)了學生的閱讀興趣,某校為滿足學生的閱讀需求,欲購進一批學生喜歡的圖書,學校組織學生會成員隨機抽取部分學生進行問卷調查,被調查學生須從“文史類、社科類、小說類、生活類”中選擇自己喜歡的一類,根據(jù)調查結果繪制了統(tǒng)計圖(未完成),請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)此次共調查了 名學生;
(2)將條形統(tǒng)計圖1補充完整;
(3)圖2中“小說類”所在扇形的圓心角為 度;
(4)若該校共有學生2000人,估計該校喜歡“社科類”書籍的學生人數(shù).
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【題目】矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示,O為坐標原點,點B的坐標為(10,8),連接AC,已知反比例函數(shù)y=(m≠0)在第一象限的圖象經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點D,并交BC于點E,交AB于點F.
(1)求線段AC所在直線的解析式和m的值.
(2)連接OE,OF,EF,求△OEF的面積.
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【題目】如圖,等邊△AOB,點C是邊AO所在直線上的動點,點D是x軸上的動點,在矩形CDEF中,CD=6,DE=,則OF的最小值為___________.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,連接BD,點E在AB上,連接CE交BD于點F,作FG⊥BC于點G,∠BEC=3∠BCE,BF=DF,若FG=,則AB的長為_____.
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【題目】如圖,AB 是⊙ O 的直徑,點 C 是⊙ O 上的一點,點 D 是弧 BC 的中點,連接 AC, BD,過點 D 作 AC 的垂線 EF,交 AC 的延長線于點 E,交 AB 的延長線于點 F..
(1)依題意補全圖形;
(2)判斷直線 EF 與⊙ O 的位置關系,并說明理由
(3)若 AB=5,BD=3,求線段 BF 的長
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【題目】已知拋物線經(jīng)過點,且拋物線上任意不同兩點都滿足:當時,;當時,;拋物線與軸另一個交點為,與軸交于點,對稱軸與軸交于點.
(1)求拋物線的對稱軸及點的坐標;
(2)過點作軸的平行線交拋物線的對稱軸于點,當四邊形是正方形時,求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,垂直于軸的直線與拋物線交于點和,與直線交于點,若,結合函數(shù)的圖象,直接寫出的取值范圍.
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