Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y= x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ ，且經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求拋物線解析式．
（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求四邊形PAOC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由拋物線的對稱性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣ 對稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，0）．

∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

又∵拋物線過點(diǎn)C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=﹣

∴y=﹣ x2﹣ x+2．

（2）

解：設(shè)P（m，﹣ m2﹣ m+2）．

如圖1，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ=﹣ m2﹣ m+2﹣（ m+2）

=﹣ m2﹣2m，

∵S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC= ×4×2+ ×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣（m+2）2+8，

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，△PAC的面積有最大值是8，

此時(shí)P（﹣2，3）．

（3）

解：如圖2，

，

在Rt△AOC中，AC= =2 ，在Rt△BOC中，BC= = ，

∵AC2+BC2=20+5=25=AB2，

∴∠ACB=90°，CO⊥AB，

∴△ABC∽△AOC∽△CBO，

①若點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M（0，2）時(shí)，△MAN∽△BAC．

根據(jù)拋物線的對稱性，當(dāng)M（﹣3，2）時(shí)，△MAN∽△ABC；

②若點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，設(shè)N（n，0），則M（n，﹣ n2﹣ n+2），

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4，

當(dāng) = ，即 = = = 時(shí)，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4），

化簡，得n2+2n﹣8=0，

n1=﹣4（舍），n2=2，M（2，﹣3）；

當(dāng) = ，即 = = =2時(shí)，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），

化簡，得n2﹣n﹣20=0，

解得：n1=﹣4（舍去），n2=5，

∴M（5，﹣18），

綜上所述：存在點(diǎn)M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）先求的直線y= x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；設(shè)拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值；（2）設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到線段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面積公式可求得S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)兩個(gè)角對應(yīng)相等得兩個(gè)三角形相似，可得M1 ， 根據(jù)拋物線的對稱性，可得M2 ， 根據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．