Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周長(zhǎng)是4 ，tanα= ，求四邊形OBEC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

∴AC⊥BD，

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，

∴四邊形OBEC是矩形；

（2）解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是4 ，

∴AB=BC=AD=DC= ，

∵tanα= ，

∴設(shè)CO=x，則BO=2x，

∴x2+（2x）2=（ ）2，

解得：x= ，

∴四邊形OBEC的面積為： ×2 =4．

【解析】（1）利用菱形的對(duì)角線互相垂直結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，進(jìn)而求出即可；（2）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出CO，BO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出四邊形OBEC的面積．
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．