Question

【題目】已知有理數(shù)在數(shù)軸上對應的點分別為，其中b是最小的正整數(shù)，滿足．

（1）填空：__________，_____________，___________；

（2）現(xiàn)將點A，點B和點C分別以每秒4個單位長度，1個單位長度和1個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向右運動，設運動時間為t秒．

i）定義：已知為數(shù)軸上任意兩點，將數(shù)軸沿線段的中點Q進行折疊，點M與點N剛好重合，所以我們又稱線段的中點Q為點M和點N的折點．

試問：當t為何值時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點？

ii）當點A在點C左側(cè)時（不考慮點A與點B重合），是否存在一個常數(shù)m，使得的值在一定時間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-2,1,5；（2）i）當t= 或t=時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點；ii）存在，當常數(shù)m=2時，的值在一定時間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變.

【解析】

（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)得到b=1，根據(jù) 求出a=-2，c=5；

（2）i）先得到運動t秒后三個點對應的數(shù)，再分三種情況分別計算t的值；

ii）先分別用t表示出AC、AB，再根據(jù)將AC、AB的式子代入即可求出常數(shù)m的值.

（1）∵b是最小的正整數(shù)，

∴b=1，

∵，

∴a+2=0，c-5=0，

∴a=-2，c=5，

故答案為：-2,1,5；

（2）

i）t秒后點A、B、C表示的數(shù)分別是：4t-2，1+t，5+t，

當點A是中點時，1+t+5+t=2（4t-2），得t= ，

當點B是中點時，4t-2+5+t=2（1+t），得t=（舍去），

當點C是中點時，4t-2+1+t=2（5+t），得t=，

綜上，當t= 或t=時，這三個點中恰好有一點為另外兩點的折點；

ii）存在，

∵t秒后點A、B、C表示的數(shù)分別是：4t-2，1+t，5+t，

∴AC=5+t-4t+2=7-3t，

當點A在點B的右側(cè)時即AB =4t-2-1-t =3t-3時，

= ，

∴常數(shù)m=2，此時=2AC+2AB=8，即AC+AB=4，

∵AC+AB=7-3t+3t-3=4，

∴當常數(shù)m=2時，的值在一定時間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變；

當點B在點A右側(cè)即AB=1+t-4t+2=3-3t時，

=，

∴常數(shù)m=-2，此時=2AC-2AB=20，即AC-AB=10，

∵7-3t-(3-3t)=4，

∴m=-2舍去，

綜上，當常數(shù)m=2時，的值在一定時間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變.