Question

（2012•咸寧）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，CD是過(guò)E點(diǎn)的弦，過(guò)點(diǎn)B的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF∥CD，連接BC．
（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的長(zhǎng)；
（2）連接BD，如果四邊形BDCF為平行四邊形，則點(diǎn)E位于AB的什么位置？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由BF與⊙O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂徑定理即可求得CE=DE，然后連接CO，設(shè)OE=x，則BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的長(zhǎng)，繼而求得CD的長(zhǎng)；
（2）由四邊形BDCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．

解答：（1）解：∵BF與⊙O相切，
∴BF⊥AB．（1分）
而BF∥CD，
∴CD⊥AB．
又∵AB是直徑，
∴CE=ED．（2分）
連接CO，設(shè)OE=x，則BE=9-x．
由勾股定理可知：CO²-OE²=BC²-BE²=CE²，
即9²-x²=6²-（9-x）²，
解得：x=7．（4分）
∴CD=2

CO2-OE2

=2

92-72

=8

2

．（5分）

（2）∵四邊形BDCF為平行四邊形，
∴BF=CD．
而CE=DE=

1

2

CD，
∴CE=

1

2

BF．（7分）
∵BF∥CD，
∴△AEC∽△ABF．（8分）
∴

AE

AB

=

EC

BF

=

1

2

．
∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．