【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,cosB.動點D從點A出發(fā)沿著射線AC的方向以每秒1cm的速度移動,動點E從點B出發(fā)沿著射線BA的方向以每秒2cm的速度移動.已知點D和點E同時出發(fā),設它們運動的時間為t秒.聯(lián)結(jié)BD.
(1)當AD=AB時,求tan∠ABD的值;
(2)以A為圓心,AD為半徑畫⊙A;以點B為圓心、BE為半徑畫⊙B.討論⊙A與⊙B的位置關系,并寫出相對應的t的值.
(3)當△BDE為直角三角形時,直接寫出tan∠CBD的值.
【答案】(1)2;(2)①當兩圓外離時,;②當兩圓外切時,;③當兩圓相交時,;④當兩圓內(nèi)切時,t=5;⑤當兩圓內(nèi)含時,t>5;(3)tan∠CBD的值是或或或.
【解析】
(1)先根據(jù)三角函數(shù)定義可得BC=4,由勾股定理計算AC=3,最后證明∠ABD=∠D,計算∠D的正切即可;
(2)分情況討論,根據(jù)兩圓外離,外切,相交,內(nèi)切,內(nèi)含的定義可得結(jié)論;
(3)當△BDE為直角三角形時,分D在線段AC上和射線AC上兩種情況,再分∠BDE=90°和∠DBE=90°分別畫圖,根據(jù)三角形相似和三角函數(shù)列比例式可解決問題.
(1)在△ABC中,
∵∠ACB=90°,AB=5,,
∴,
∴BC=ABcos∠ABC=54,
∴,
當AD=AB=5時,∠ABD=∠D,
∴CD=AD﹣AC=5﹣3=2,
在Rt△BCD中,,
∴tan∠ABD=tan∠D=2;
(2)如圖2,⊙A經(jīng)過點E,兩圓外切,
由題意得:AD=t,BE=2t,
∴t+2t=5,
解得:t,
①當兩圓外離時,由題意得5>3t,解得:;
②當兩圓外切時,如圖2,;
③當兩圓相交時,由題意得t<5<3t,解得:;
④當兩圓內(nèi)切時,如圖3,由題意得2t﹣t=5,解得:t=5;
⑤當兩圓內(nèi)含時,由題意得0≤5<t,解得:t>5;
(3)①當D在線段AC上,且∠BED=90°時,如圖4,
∵cosA,即,
解得:,
∴CD=3,
∴;
②當D在線段AC上,且∠BDE=90°,如圖5,過E作EF∥BC,交AC于F,
∴AE=5﹣2t.
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,即,
∴AF=3t,EF=4t.
∵AD=t,
∴CD=3﹣t,DF=AD﹣AF=t﹣(3t)t﹣3.
∵∠BDE=∠EDF+∠CDB=∠CDB+∠CBD=90°,
∴∠EDF=∠CBD.
∵∠EFD=∠C=90°,
∴△EFD∽△DCB,
∴,即,
∴4(4t)=(3﹣t)(t﹣3),
解得:t1=5(舍),,
∴tan∠CBD;
③當D在線段AC的延長線上,且∠BDE=90°時,如圖6,過E作EF⊥AC,交CA的延長線于F,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴,即,
∴AFt﹣3,EFt﹣4.
∵AD=t,
∴CD=t﹣3,DF=AD+AF=t+(t﹣3)t﹣3,
同理得△EFD∽△DCB,
∴,即,
∴4(t﹣4)=(t﹣3)(t﹣3),
解得:t1=5,(舍),
∴tan∠CBD;
④當D在線段AC的延長線上,且∠DBE=90°時,如圖7,
∵∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠CDB,
∴∠ABC=∠CDB,
∴tan∠ABC=tan∠CDB,即,
解得:,
∴tan∠CBD;
綜上,tan∠CBD的值是或或或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在菱形ABCD 中,點E,O,F分別是邊AB,AC,AD的中點,連接CE、CF、OE、OF.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)當AB與BC滿足什么條件時,四邊形AEOF正方形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,NM與⊙O相切于點M,與AB的延長線交于點N,MH⊥AB于點H.
(1)求證:∠1=∠2;
(2)若∠N=30°,BN=5,求⊙O的半徑;
(3)在(2)的條件下,求線段BN、MN及劣弧BM圍成的陰影部分面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有若干個僅顏色不同的紅球和黑球,現(xiàn)往一個不透明的袋子里裝進2個紅球和2個黑球.
(1)隨機摸出一個球是黑球的概率為 ;若先從袋子里取出m個紅球(不放回),再從袋子里隨機摸出一個球,將“摸到黑球”記為事件A.若事件A為必然事件,則m= ;
(2)若從袋子里一次摸出兩個球,用列表法或畫樹狀圖法列出所有等可能結(jié)果,并求摸出的兩球顏色不同的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一組數(shù)據(jù)3,4,4,5,若添加一個數(shù)4,則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是( )
A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差
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【題目】如圖,已知在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,點M在線段OD上,聯(lián)結(jié)AM并延長交邊DC于點E,點N在線段OC上,且ON=OM,聯(lián)結(jié)DN與線段AE交于點H,聯(lián)結(jié)EN、MN.
(1)如果EN∥BD,求證:四邊形DMNE是菱形;
(2)如果EN⊥DC,求證:AN2=NCAC.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了豐富校園文化生活,提高學生的綜合素質(zhì),促進中學生全面發(fā)展,學校開展了多種社團活動.小明喜歡的社團有:合唱社團、足球社團、書法社團、科技社團(分別用字母A,B,C,D依次表示這四個社團),并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上,然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.
(1)小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是 .
(2)小明先從中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再從剩余的卡片中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在一次綜合實踐活動中,小亮要測量一樓房的高度,先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30°,沿坡面向下走到坡腳C處,然后在地面上沿CB向樓房方向繼續(xù)行走10米到達E處,測得樓房頂部A的仰角為60°.已知坡面CD=10米,山坡的坡度i=1:(坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比).求樓房AB高度.(結(jié)果保留根式)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果一個直角三角形的三邊長分別為,則稱這個三角形均勻直角三角形.
(1)判定按照上述定義,下列長度的三條線段能組成均勻直角三角形的是()
A.1,2,3 B.1,1,2 C.2,3,4 D.3,4,5,
(2)性質(zhì)求證:任何均勻直角三角形的較小直角邊與較大直角邊的比是
(3)應用如圖,在一塊均勻直角三角形紙板中剪一個矩形,且矩形的一邊在上,其余兩個頂點分別在上,已知,求剪出矩形面積的最大值.
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