Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，4），O（0，0），B（6，0），點(diǎn)M是射線(xiàn)OB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，MN與射線(xiàn)OA交于點(diǎn)N，P是AB邊上的任意點(diǎn)，連接AM，PM，PN，BN，設(shè)△PMN的面積為S．

（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)M在邊OB上時(shí)，S有最大值嗎？若有，求出S的最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）是否存在點(diǎn)M，使△PMN和△ANB中，其中一個(gè)面積是另一個(gè)2倍？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）N（，）；

（2）x=3時(shí)，S有最大值為3

（3）M（12，0）或M（3，0）．

【解析】

試題分析：（1）由相似三角形的性質(zhì)即可，

（2）由兩直線(xiàn)平行，得到三角形相似，再由相似得到比例式，表示出NH，從而求出S的函數(shù)關(guān)系式；

（3）利用同高的兩個(gè)三角形的面積比是底的比，得出MN=2AB，求出OM，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵M(jìn)N∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

∴NH=，

∵點(diǎn)N在直線(xiàn)OA上，直線(xiàn)OA的解析式為y=x，

∴N（，）；

（2）設(shè)OM=x，∵M(jìn)N∥AB，

∴S△MNB=S△PMN=S，

∵△OMN∽△OAB，

∴，NH=x，

∴S=MB×BH=（6﹣x）×x=﹣（x﹣3）2+3，

∴x=3時(shí)，S有最大值為3．

（3）假設(shè)存在，

設(shè)MN與AB之間的距離為h，

若S△PMN=2S△ANB，

∴MH×h=2×AB×h，

∴MN=2AB，

∵△OMN∽△OAB，

∴=2，

∴OM=12，

∴M（12，0），

若S△ANB=2S△PMN，同理可得M（3，0），

∴M（12，0）或M（3，0）．