Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+4x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若P是x軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo)．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=(x2)2+1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)；

（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．

【解析】試題分析：（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可得出二次函數(shù)的解析式，把解析式換成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：

①PA=AB，先根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OB的長，進(jìn)而可求出AB的長，也就知道了PB的長，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②PB=AB，此時(shí)P與A關(guān)于y軸對稱，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線y=﹣x2+4x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）

∴n=﹣3

∴y=﹣x2+4x﹣3；

∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；

（2）∵拋物線的解析式為y=﹣x2+4x﹣3，

∴令x=0，則y=﹣3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），AB=，

①當(dāng)PA=AB時(shí)，PA=AB=，

∴OP=PA﹣OA=﹣1或OP=+1．

∴P（﹣+1，0）或（+1，0）；

②當(dāng)PB=AB時(shí)，P、A關(guān)于y軸對稱，

∴P（﹣1，0）

因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣+1，0）或（+1，0）或（﹣1，0）．