Question

【題目】綜合與探究：

如圖在等邊三角形ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊三角形CDE，連接BE．

（1）填空：∠CAM＝　 　；

（2）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，

①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求∠AOB的度數(shù)；

②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，試判斷∠AOB是否為定值？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①60°；②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性質(zhì)就可以∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）①由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°，由等邊三角形的性質(zhì)得出AM⊥BC，即可得出答案；

②分情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，由①得：∠AOB＝60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD＝30°即可得出答案；

當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE＝∠CAD，同理得出∠CAM＝30°，求出∠CBE＝∠CAD＝150°，得出∠CBO＝30°，即可得出答案．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵線段AM為BC邊上的中線，

∴∠CAM＝∠BAC，

∴∠CAM＝30°，

故答案為：30°；

（2）證明：∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ADC和△BEC中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1所示：

由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°，

∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線

∴AM⊥BC，

∴∠BMO＝90°，

∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°；

②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，由①得：∠AOB＝60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE＝∠CAD＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣30°＝60°；

當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示：

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE＝∠CAD，

同理可得：∠CAM＝30°

∴∠CBE＝∠CAD＝150°

∴∠CBO＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣30°＝60°；

綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．