【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(3,0),B(0,1),C(2,2)三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)D(,m )在二次函數(shù)的圖象上,將∠ACB繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至∠FCE,使得射線CE與軸的正半軸交于點(diǎn)E,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,射線CF與線段OA交于點(diǎn)F.求證:BE=2FO;

(3)是否存在點(diǎn)H(n,2),使得點(diǎn)A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形?若存在,有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)H?(直接回答,不必說(shuō)明理由)

【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為

(2)證明見解析;

(3)存在4個(gè)符合條件的點(diǎn)H,使得點(diǎn)A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形.

【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2)證明Rt△NBC≌Rt△MAC和△ACF≌△BCE, 得出AF=BE,然后利用一次函數(shù)求出BE=2FO;(3)最后直接求出符合條件△ADH是直角三角形的點(diǎn)H.

(1)解:把A(3,0),B(0,1),C(2,2)代入,

∴二次函數(shù)的解析式為

(2)過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OA于點(diǎn)M,CN⊥y軸于點(diǎn)N,

∵A(3,0),B(0,1),C(2,2),

∴CM= CN=2,CA=CB=,

∴Rt△NBC≌Rt△MAC,

∴∠CAF=∠CBE,

∵將∠ACB繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至∠FCE,

∴∠FCE=∠ACB,

∴∠FCE-∠BCF=∠ACB-∠BCF,

即∠ACF=∠BCE,

又∵CB=CA,∴△ACF≌△BCE,

∴AF=BE.

∵二次函數(shù)的解析式為

當(dāng)時(shí), ,∴

設(shè)直線CD: ,把C(2,2)、代入得

, 解得,

∴直線CD:

∴E(0,3),BE=2, ∴AF=BE=2 ,

∴FO=OA-AF=1.

∴BE=2FO.

(3)存在4個(gè)符合條件的點(diǎn)H,使得點(diǎn)A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形.

“點(diǎn)睛”本題考查了二次函數(shù)的綜合題,熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,根據(jù)題意利用一次函數(shù)求出BE=2FO是解答此題的關(guān)鍵.

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