【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長為2,點M是BC的中點,P是線段MC上的一個動點(不與M、C重合),以AB為直徑作⊙O,過點P作⊙O的切線,交AD于點F,切點為E.

(1)求證:OF∥BE;
(2)設(shè)BP=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)延長DC、FP交于點G,連接OE并延長交直線DC于H(圖2),問是否存在點P,使△EFO∽△EHG(E、F、O與E、H、G為對應(yīng)點)?如果存在,試求(2)中x和y的值;如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

證明:連接OE

FE、FA是⊙O的兩條切線

∴∠FAO=∠FEO=90°

在Rt△OAF和Rt△OEF中,

∴Rt△FAO≌Rt△FEO(HL),

∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE,

∴∠AOF=∠ABE,

∴OF∥BE


(2)

解:過F作FQ⊥BC于Q

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

∵在Rt△PFQ中

∴FQ2+QP2=PF2

∴22+(x﹣y)2=(x+y)2

化簡得: ,(1<x<2)


(3)

解:存在這樣的P點,

理由:∵∠EOF=∠AOF,

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF,

當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時,

即∠EOF=30°時,Rt△EFO∽Rt△EHG,

此時Rt△AFO中,

y=AF=OAtan30°= ,

∴當(dāng) 時,△EFO∽△EHG


【解析】(1)首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進(jìn)而得出∠AOF=∠ABE,即可得出答案;(2)過F作FQ⊥BC于Q,利用勾股定理求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)M是BC中點以及BC=2,即可得出BP的取值范圍;(3)首先得出當(dāng)∠EFO=∠EHG=2∠EOF時,即∠EOF=30°時,Rt△EFO∽Rt△EHG,求出y=AF=OAtan30°= ,即可得出答案.

練習(xí)冊系列答案
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