Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長的速度勻速運(yùn)動，過點(diǎn)Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時開始運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時，求t的值，并指出此時BQ的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AD上時，t為何值能使PQ∥DC；
（3）設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點(diǎn)E運(yùn)動到CD、DA上時，S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（4）△PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把BA，AD，DC它們的和求出來再除以速度每秒5個單位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的長；
（2）如圖1，若PQ∥DC，又AD∥BC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，用t分別表示QC，BA，AP，然后就可以得出關(guān)于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動時，如圖2分別過點(diǎn)A、D作AF⊥BC于點(diǎn)F，DH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形ADHF為矩形，然后根據(jù)已知條件可以證明△ABF≌△DCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到FH=AD=75，BF=CH=30，DH=AF=40，再求出tanC=，在Rt△CQE中，QE，QC就可以用t表示，這樣射線QK掃過梯形ABCD的面積為S也可以用t表示了；
②當(dāng)點(diǎn)E在DA上運(yùn)動時，如圖1．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC-CH=3t-30，現(xiàn)在的射線QK掃過梯形ABCD的面積S就是梯形QCDE，可以用t表示了．
（4）△PQE能成為直角三角形．
①當(dāng)點(diǎn)P在BA（包括點(diǎn)A）上，即0＜t≤10時，如圖2．過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形
②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD（不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D）上，即10＜t≤25時，如圖1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點(diǎn)P、E不能重合，即5t-50+3t-30≠75，解得t≠．
③當(dāng)點(diǎn)P在DC上（不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C），即25＜t≤35時，如圖3．由ED＞25×3-30=45，
可知，點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．對于∠PQE，
∠PQE≤∠CQE，只有當(dāng)點(diǎn)P與C重合，即t=35時，如圖4，∠PQE=90°，△PQE為直角三角形．
解答：解：（1）t=（50+75+50）÷5=35（秒）時，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C．（1分）
此時，QC=35×3=105，
∴BQ的長為135-105=30．（2分）

（2）如圖1，若PQ∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四邊形PQCD為平行四邊形，
∴PD=QC，
由QC=3t，BA+AP=5t
得50+75-5t=3t，
解得t=．
經(jīng)檢驗，當(dāng)t=時，有PQ∥DC．（4分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動時，如圖2．分別過點(diǎn)A、D
作AF⊥BC于點(diǎn)F，DH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形
ADHF為矩形，且△ABF≌△DCH，從而
FH=AD=75，于是BF=CH=30．
∴DH=AF=40．
又∵QC=3t，
從而QE=QC•tanC=3t•=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S_△QCE=QE•QC=6t²；（6分）
②當(dāng)點(diǎn)E在DA上運(yùn)動時，如圖1．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC-CH=3t-30．
∴S=S_梯形QCDE=（ED+QC）DH=120t-600．（8分）

（4）△PQE能成為直角三角形．（9分）
當(dāng)△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35．（12分）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)
（注：（4）問中沒有答出t≠或t=35者各扣（1），其余寫法酌情給分）
下面是第（4）問的解法，僅供教師參考：
①當(dāng)點(diǎn)P在BA（包括點(diǎn)A）上，即0＜t≤10時，如圖2．
過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，則PG=PB•sinB=4t，
又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQE總能成為直角三角形．
②當(dāng)點(diǎn)P、E都在AD（不包括點(diǎn)A但包括點(diǎn)D）上，即10＜t≤25時，如圖1．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點(diǎn)P、E不能重合，
即5t-50+3t-30≠75，解得t≠．
③當(dāng)點(diǎn)P在DC上（不包括點(diǎn)D但包括點(diǎn)C），
即25＜t≤35時，如圖3．由ED＞25×3-30=45，
可知，點(diǎn)P在以QE=40為直徑的圓的外部，故
∠EPQ不會是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角．
對于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有當(dāng)點(diǎn)P與C
重合，即t=35時，如圖4，∠PQE=90°，△PQE
為直角三角形．
綜上所述，當(dāng)△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35．
點(diǎn)評：此題綜合性很強(qiáng)，把圖形的變換放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件探究圖形的變換，根據(jù)變換的圖形的性質(zhì)求出運(yùn)動時間．