在直角坐標平面內,已知拋物線y=a(x-1)2(a>0)頂點為A,與y軸交于點C,點B是拋物線上另一點,且橫坐標為3,若△ABC為直角三角形時,求a的值.
分析:首先求出C和B的坐標,利用勾股定理可表示出AC,AB,BC,若△ABC為直角三角形時則BC2=AC2+AB2或 AB2=AC2+BC2或AC2=AB2+BC2進而求出符合題意a的值即可.
解答:解:
∵y=a(x-1)2(a>0)的頂點為A,所以點A的坐標為(1,0).
由 x=0,得y=a,所以點C的坐標為(0,a),
由 x=3,得y=4a,所以點B的坐標為(3,4a),
所以有 
AC2=1+a2
AB2=4+16a2
BC2=9+9a2
,
(1)若 BC2=AC2+AB2
得  9+9a2=1+a2+4+16a2
即   a2=
1
2
,a=±
2
2
.因為a>0
,
a=
2
2
;
(2)若 AB2=AC2+BC2
得  4+16a2=1+a2+9+9a2
即   a2=1,a=±1.
∴a>0,
∴a=1;       
(3)若 AC2=AB2+BC2
得  1+a2=4+16a2+9+9a2
即   a2=-
1
2
,無解

綜上所述,當△ABC為直角三角形時,a的值為1或
2
2
點評:本題考查了拋物線和坐標軸的交代問題、勾股定理和勾股定理逆定理的運用和分類討論的數(shù)學思想的運用,題目的綜合性很好,難度中等.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標平面內,已知點A的坐標(-5,0),
(1)圖中B點的坐標是
 

(2)點B關于原點對稱的點C的坐標是
 
;點A關于y軸對稱的點D的坐標是
 
;
(3)△ABC的面積是
 
;
(4)在直角坐標平面上找一點E,能滿足S△ADE=S△ABC的點E有
 
個;
(5)在y軸上找一點F,使S△ADF=S△ABC,那么點F的所有可能位置是
 
;(用坐標表示,并在圖中畫出)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在直角坐標平面內,已點A(3,0)、B(-5,3),將點A向左平移6個單位到達C點,將點B向下平移6個單位到達D點.
(1)寫出C點、D點的坐標:C
 
,D
 
;
(2)把這些點按A-B-C-D-A順次連接起來,這個圖形的面積是
 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標平面內,已知點A (3,y1),點B(x2,5),根據(jù)下列條件,求出x2,y1的值.
(1)A、B關于x軸對稱;
(2)A、B關于y軸對稱;
(3)A、B關于原點對稱;  
(4)AB平行于x軸;  
(5)AB平行于y軸.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標平面內,已知點A(-1,3)、點B(-4,-2),將點B向右平移5個單位得到點C.
(1)描出點A、B、C的位置,并求△ABC的面積;
(2)畫出△ABC關于原點O中心對稱圖形△A1B1C1

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