【題目】已知,在中,弦,連接、;
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,在線段上取點,連接并延長交于點,交于點,,連接、、,,求的正切值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,交于點,,,求線段的長.
【答案】(1)見解析;(2)tan∠BCF=;(3)
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠D,然后根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得,然后根據(jù)等式的基本性質(zhì)即可證出,最后根據(jù)圓的基本性質(zhì)即可求出結(jié)論;
(2)過點K作KH⊥CD交CD的延長線于H,連接KD,根據(jù)等弧所對的圓周角相等可證∠BCF=∠DCK,從而得出tan∠BCF=tan∠DCK,設(shè)CK=5a,則DK=a,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理即可求出tan∠DCK,從而求出結(jié)論;
(3)在(2)的圖上延長FK和CH,交于點M,用含a的式子求出CK、BF和KH,然后證出△CKM∽△CBF,最后列出比例式即可求出結(jié)論.
解:(1)∵
∴∠B=∠D
∴
∴
∴
∴;
(2)過點K作KH⊥CD交CD的延長線于H,連接KD,
∵
∴,∠KFC=∠BEF=45°
∴BF=DK,∠BCF=∠DCK
∴tan∠BCF=tan∠DCK
∵,∠HDK為圓內(nèi)接四邊形CDKF的外角
∴,∠HDK=∠KFC=45°
∴△DKH為等腰直角三角形
設(shè)CK=5a,則DK=a,
∴DH=HK=DK·sin∠HDK=3a
在Rt△CKH中,CH=a
∴tan∠DCK=
∴tan∠BCF=
(3)在(2)的圖上延長FK和CH,交于點M
由(2)知:CK=5a,DH=HK=3a, BF=DK=a,∠BCF=∠DCK
∵CD∥AB,FK∥BD
∴四邊形GBDM為平行四邊形
∴BG=DM
∵=5a
∴DM=5a
∴MH=DM-DH=2a
在Rt△MKH中,KM=
∵∠CKM為圓內(nèi)接四邊形FBCK的外角
∴∠CKM=∠CBF
∴△CKM∽△CBF
∴
即
解得:a=
∴CK=5×=
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【題目】已知一個口袋中裝有六個完全相同的小球,小球上分別標(biāo)有1,2,5,7,8,13六個數(shù),攪勻后一次從中摸出一個小球,將小球上的數(shù)記為m,則使得一次函數(shù)y=(﹣m+1)x+11﹣m經(jīng)過一、二、四象限且關(guān)于x的分式方程=3x+的解為整數(shù)的概率是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).
(1)將△ABC繞著O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1,并寫出A1的坐標(biāo);
(2)以原點O為位似中心,在第一象限畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2,相似比為1:2,并寫出A2的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(-5,0),以OA為半徑作半圓,點C是第一象限內(nèi)圓周上一動點,連結(jié)AC、BC,并延長BC至點D,使CD=BC,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線AC于點E、F,點E為垂足,連結(jié)OF.
(1)當(dāng)∠BAC=30時,求△ABC的面積;
(2)當(dāng)DE=8時,求線段EF的長;
(3)在點C運(yùn)動過程中,是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,請求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】慈氏塔位于岳陽市城西洞庭湖邊,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如圖,小亮的目高CD為1.7米,他站在D處測得塔頂?shù)难鼋恰?/span>ACG為45°,小琴的目高EF為1.5米,她站在距離塔底中心B點a米遠(yuǎn)的F處,測得塔頂?shù)难鼋恰?/span>AEH為62.3°.(點D、B、F在同一水平線上,參考數(shù)據(jù):sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)
(1)求小亮與塔底中心的距離BD;(用含a的式子表示)
(2)若小亮與小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.
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【題目】有兩張完全重合的矩形紙片,將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連接BD,MF,若BD=16cm,∠ADB=30°.
(1)試探究線段BD 與線段MF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;
(2)把△BCD 與△MEF 剪去,將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,邊AD1交FM 于點K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK 為等腰三角形時,求β的度數(shù);
(3)若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F2M2與AD交于點P,A2M2與BD交于點N,當(dāng)NP∥AB時,求平移的距離.
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【題目】春節(jié)期間,根據(jù)習(xí)俗每家每戶都會在門口掛燈籠和對聯(lián),某商店看準(zhǔn)了商機(jī),購進(jìn)了一批紅燈籠和對聯(lián)進(jìn)行銷售,已知每幅對聯(lián)的進(jìn)價比每個紅燈籠的進(jìn)價少10元,且用480元購進(jìn)對聯(lián)的幅數(shù)是用同樣金額購進(jìn)紅燈籠個數(shù)的6倍.
(1)求每幅對聯(lián)和每個紅燈籠的進(jìn)價分別是多少?
(2)由于銷售火爆,第一批銷售完了以后,該商店用相同的價格再購進(jìn)300幅對聯(lián)和200個紅燈籠,已知對聯(lián)售價為6元一幅,紅燈籠售價為24元一個,銷售一段時間后,對聯(lián)賣出了總數(shù)的,紅燈籠售出了總數(shù)的,為了清倉,該店老板對剩下的對聯(lián)和紅燈籠以相同的折扣數(shù)進(jìn)行打折銷售,并很快全部售出,求商店最低打幾折可以使得這批貨的總利潤率不低于90%?
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