【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當(dāng)BEC面積最大時,請求出點E的坐標(biāo)和BEC面積的最大值?

(3)在(2)的結(jié)論下,過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)(2,3),3;(3)(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,

【解析】

試題分析:(1)直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,點B的坐標(biāo)是(0,3),點C的坐標(biāo)是(4,0),拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點,,解得,y=﹣x2+x+3.

(2)如圖1,過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M,EF交x軸于點F,

,

點E是直線BC上方拋物線上的一動點,設(shè)點E的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則點M的坐標(biāo)是(x,﹣x+3),EM=﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+x,S△BEC=S△BEM+S△MEC==×(﹣x2+x)×4=﹣x2+3x=﹣(x﹣2)2+3,當(dāng)x=2時,即點E的坐標(biāo)是(2,3)時,BEC的面積最大,最大面積是3.

(3)在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.

①如圖2,

,

由(2),可得點M的橫坐標(biāo)是2,點M在直線y=﹣x+3上,點M的坐標(biāo)是(2,),又點A的坐標(biāo)是(﹣2,0),AM==,AM所在的直線的斜率是:;y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,設(shè)點Q的坐標(biāo)是(1,m),點P的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則,解得x0,點P的坐標(biāo)是(﹣3,﹣).

②如圖3,

由(2),可得點M的橫坐標(biāo)是2,點M在直線y=﹣x+3上,點M的坐標(biāo)是(2,),又點A的坐標(biāo)是(﹣2,0),AM==AM所在的直線的斜率是:;y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,設(shè)點Q的坐標(biāo)是(1,m),點P的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則解得,x0,點P的坐標(biāo)是(5,﹣).

③如圖4,

,

由(2),可得點M的橫坐標(biāo)是2,點M在直線y=﹣x+3上,點M的坐標(biāo)是(2,),又點A的坐標(biāo)是(﹣2,0),AM==,y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,設(shè)點Q的坐標(biāo)是(1,m),點P的坐標(biāo)是(x,﹣x2+x+3),則解得,點P的坐標(biāo)是(﹣1,).綜上,可得在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標(biāo)是(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,).

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