Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x﹣2圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．若C（m，1﹣m）是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形DECF是矩形；

（3）連接EF，線段EF的長是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)（﹣1，0），（4，0）；(2)證明過程見解析；(3)2.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)拋物線的解析式來求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可；(2)、欲證明四邊形DECF是矩形，只需證得四邊形DECF是平行四邊形且有一內(nèi)角為直角即可；(3)、連接CD，根據(jù)矩形DECF的對(duì)角線相等得到：EF=CD．當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，即EF的值最小．

試題解析：(1)、當(dāng)y=0時(shí)，﹣x﹣2=0， 解方程，得 x1=﹣1，x2=4． ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（﹣1，0），（4，0）；

(2)、把C（m，1﹣m）代入y=﹣x﹣2得：－2=1－m 解方程，得m=3或m=﹣2．

∵點(diǎn)C位于第四象限， ∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1， ∴m=﹣2舍去， ∴m=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，﹣2）． 過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，則∠AHC=∠BHC=90°．

由A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣2）得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5， ∴=2．

又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB， ∴∠ACH=∠CBH． ∵∠CBH+∠BCH=90°，

∴∠ACH+∠BCH=90°， ∴∠ACB=90°， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四邊形DECF是平行四邊形，

∴平行四邊形DECF是矩形；

(3)、存在．理由如下： 連接CD． ∵平行四邊形DECF是矩形， ∴EF=CD．

當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最�。� ∵C（3，2）， ∴DC的最小值是2， ∴EF的最小值是2．