【題目】如圖,ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,PCQ=45°,把∠PCQ繞點C旋轉,在整個旋轉過程中,過點AADCP,垂足為D,直線ADCQE

1)如圖①,當∠PCQ在∠ACB內(nèi)部時,求證:AD+BE=DE

2如圖②,CQ在∠ACB外部時,求證AD-BE=DE;

3在(1)的條件下,若CD=18,SBCE=2SACD,求AE的長.(直接寫結果)

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)24

【解析】試題分析:(1)延長DAF,使DF=DE,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF,再求出∠ACF=BCE,然后利用邊角邊證明ACFBCE全等,根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE,從而得證;
2)在AD上截取DF=DE,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得CE=CF,再求出∠ACF=BCE,然后利用邊角邊證明ACFBCE全等,根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE,從而得到AD=BE+DE
3)根據(jù)等腰直角三角形的性質求出CD=DF=DE,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出AF=2AD,然后求出AD的長,再根據(jù)AE=AD+DE代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.

試題解析:

1)如圖①,延長DAF,使DF=DE,
CDAECE=CF,
∴∠DCE=DCF=PCQ=45°
∴∠ACD+ACF=DCF=45°,
又∵∠ACB=90°PCQ=45°,
∴∠ACD+BCE=90°-45°=45°
∴∠ACF=BCE,
∵在ACFBCE中, ,

∴△ACF≌△BCESAS),AF=BE,
AD+BE=AD+AF=DF=DEAD+BE=DE;

2)如圖②,在AD上截取DF=DE,
CDAECE=CF,
∴∠DCE=DCF=PCQ=45°
∴∠ECF=DCE+DCF=90°,
∴∠BCE+BCF=ECF=90°,
又∵∠ACB=90°,∴∠ACF+BCF=90°,∴∠ACF=BCE
∵在ACFBCE中,

∴△ACF≌△BCESAS),AF=BE
AD=AF+DF=BE+DE,AD=BE+DE


3∵∠DCE=DCF=PCQ=45°,∴∠ECF=45°+45°=90°,
∴△ECF是等腰直角三角形,∴CD=DF=DE=6
SBCE=2SACD,AF=2AD
AD=×6=2,AE=AD+DE=2+6=8

練習冊系列答案
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a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法.

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1ab、mn均為正整數(shù)時,若a+b=m+n)2,用含m、n的式子分別表示ab,得:a= ,b= 

2利用探索的結論,找一組正整數(shù)a、b、mn a、b都不超過20

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