已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O。
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值；
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式。
解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足為O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形，
②設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm；
（2）①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形，
因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒，
②由題意得，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上，
分三種情況：
（i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12
（ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12
（iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12，
綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12（ab≠0）。
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1
3
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（2）在（1）中，直線l把矩形分成兩部分的面積比為2：5，求a的值；
（3）若AM=
1
4
AC，且直線l經(jīng)過點B（如圖2），求AD的長；
（4）如果直線l分別與邊AD，AB相交于點E，F(xiàn)，AM=
1
4
AC，設(shè)AD的長為x，△AEF的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍（求x的取值范圍可不寫過程）．精英家教網(wǎng)

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12
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