已知,矩形ABCD中,延長BC至E,使BE=BD,F(xiàn)為DE的中點(diǎn),連結(jié)AF、CF.
(1)若AB=3,AD=4,求CF的長;
(2)求證:∠ADB=2∠DAF.
分析:(1)利用勾股定理得出BD的長,以及DE的長,進(jìn)而求出CF的長;
(2)首先得出△ADF≌△BCF(SAS),進(jìn)而得出∠DAF=∠FBC=
1
2
∠DBE,再利用平行線的性質(zhì)得出即可.
解答:解:(1)∵因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,
∴BC=AD=4,CD=AB=3,
在RT△ABD中,BD=
AB2+AD2
=
32+42
=5
,
∴BE=BD=5CE=BE-BC=1,
DE=
CD2+CE2
=
10
,
∵F是DE的中點(diǎn),
CF=
DE
2
=
10
2
;

(2)連接BF.
∵BE=BD,EF=DF,
∴∠DBF=∠EBF,
又∵CF=
1
2
DE=DF,
∴∠DCF=∠FDC,
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF,
即∠ADF=BCF,
在△ADF和△BCF中,
DF=CF
∠ADF=∠BCF
DA=CB
,
∴△ADF≌△BCF(SAS),
∴∠DAF=∠FBC=
1
2
∠DBE,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBE,
∴∠ADB=2∠DAF.
點(diǎn)評:此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識,根據(jù)已知得出△ADF≌△BCF是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知:矩形ABCD中,AB=1,點(diǎn)M在對角線AC上,直線l過點(diǎn)M且與AC垂直,與AD相交于點(diǎn)E.
(1)如果直線l與邊BC相交于點(diǎn)H(如圖1)AM=
1
3
AC且AD=a,求的AE長(用含a的代數(shù)式表示);
(2)在(1)中,直線l把矩形分成兩部分的面積比為2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
AC,且直線l經(jīng)過點(diǎn)B(如圖2),求AD的長;
(4)如果直線l分別與邊AD,AB相交于點(diǎn)E,F(xiàn),AM=
1
4
AC,設(shè)AD的長為x,△AEF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍(求x的取值范圍可不寫過程).精英家教網(wǎng)

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12
.求:
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