Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像交軸于，交軸于，過(guò)畫(huà)直線(xiàn)。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)在軸正半軸上，且，求的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，以為圓心的圓與直線(xiàn)相切，切點(diǎn)為。

① 點(diǎn)在軸右側(cè)，且（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)的坐標(biāo)；

② 若的半徑為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）（2）3/2（3）①或②或

【解析】

解：（1）∵二次函數(shù)的圖像交軸于

∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：………………1分

又二次函數(shù)的圖像交軸于

將代入，得

解得，………………2分

∴拋物線(xiàn)的解析式為，即………………3分

（2）設(shè)，則

在中，

由勾股定理，得………………4分

解得，，即………………5分

（3）① ∵，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)

∴

情形1：如圖，當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)

∵

∴軸，∴

點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上

∴………………6分

解得（舍去）或，∴………………7分

情形2：如圖，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)

∵

由（2）得，為直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)

設(shè)直線(xiàn)的解析式為

把的坐標(biāo)代入，得

解得，，∴………………8分

由，解得，（舍去）或

此時(shí)，∴………………9分

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或

②以為圓心的圓與直線(xiàn)相切，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為圓半徑。因?yàn)?/span>同時(shí)也在拋物線(xiàn)上，因此利用平行線(xiàn)間距離處處相等的性質(zhì)，先在軸上找到與直線(xiàn)距離為的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，根據(jù)平行直線(xiàn)的解析式中相等的性質(zhì)確定直線(xiàn)解析式，再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式求得坐標(biāo)。

在軸上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，使

∵

∴，∴

∴，解得

∴或

過(guò)點(diǎn)作，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將代入可得，，解得

∴設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將或代入可得，

或，解得或

則直線(xiàn)的解析式為或

當(dāng)時(shí)，，

，方程無(wú)實(shí)數(shù)解 ………………10分

當(dāng)時(shí)，，

解得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為或……………12分