Question

如圖，在正方形ABCD中，點F在CD邊上，射線AF交BD于點E，交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ADE≌△CDE；
（2）過點C作CH⊥CE，交FG于點H，求證：FH=GH；
（3）當(dāng)AD：DF=

3

時，試判斷△ECG的形狀并證明結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意，AD=CD，∠1=∠2，DE=DE，易證△ADE≌△CDE．
（2）如圖，由∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°，所以∠4=∠6，又∠3=∠G，所以∠6=∠G，同理，可得∠5=∠7，即可得到CH=HG=FH；
（3）由∠ADF=90°，AD：DF=

3

，可得∠AFD=60°，結(jié)合（1）得，∠3=∠G=∠4=30°，∠AFD=∠7=60°，所以，
∠CEG=∠G=30°．

解答：（1）證明：∵四邊形是ABCD正方形，BD是對角線，
∴AD=CD，∠1=∠2，∠DCB=∠DCG=90°，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE；

（2）∵△ADE≌△CDE，
∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE于C，
∴∠4+∠5=90°，
∵∠DCG=∠5+∠6=90°，
∴∠4=∠6，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠G，
∴∠6=∠G，
∴HC=HG，
∵∠7+∠G=90°，∠5+∠6=90°，
∴∠5=∠7，
∴HF=HC，
∴HF=HG；

（3）△ECG是等腰三角形．理由如下：
∵∠ADF=90°，AD：DF=

3

，
∴∠AFD=60°，
∴∠3=∠G=∠4=30°，∠AFD=∠7=60°，
∴∠CEG=∠7-∠4=∠G=30°，
∴CE=CG．　
即△ECG是等腰三角形．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，本題綜合性比較強(qiáng)，考查了學(xué)生綜合運用知識解答問題的能力．