Question

【題目】設(shè)函數(shù)y=kx2+（2k+1）x+1（k為實數(shù)）
（1）寫出其中的兩個特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標(biāo)系中，用描點法畫出這兩個特殊函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實數(shù)k，函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；
（3）對任意負(fù)實數(shù)k，當(dāng)x＜m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如兩個函數(shù)為y=x+1，y=x2+3x+1，

函數(shù)圖形如圖所示

（2）

解：不論k取何值，函數(shù)y=kx2+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1），

且與x軸至少有1個交點．證明如下：

將x=0時代入函數(shù)中解出y=1，x=﹣2時代入函數(shù)中解出y=﹣1．

所以函數(shù)的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1）．

又因為當(dāng)k=0時，函數(shù)y=x+1的圖象與x軸有一個交點；

當(dāng)k≠0時，

∵△=（2k+1）2﹣4k=4k2+1＞0，所以函數(shù)圖象與x軸有兩個交點．

所以函數(shù)y=kx2+（2k+1）x+1的圖象與x軸至少有1個交點

（3）

解：只要寫出m≤﹣1的數(shù)都可以．

∵k＜0，

∴函數(shù)y=kx2+（2k+1）x+1的圖象在對稱軸直線x=﹣ 的左側(cè)，y隨x的增大而增大．

根據(jù)題意，得m≤﹣ ，而當(dāng)k＜0時，﹣ =﹣1﹣ ＞﹣1，

所以m≤﹣1

【解析】（1）令k=0或1，分別得到兩個特殊函數(shù)，畫出圖象即可；（2）猜想：不論k取何值，函數(shù)y=kx2+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1）．由解析式變形，得y=k（x2+2x）+（x+1），可知當(dāng)x2+2x=0，即x=0或﹣2時，函數(shù)值與k的取值無關(guān)，此時y=1或﹣1，可得定點坐標(biāo)；（3）只求m的一個值即可．當(dāng)k＜0時，拋物線對稱軸為直線x=﹣ ，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，根據(jù)題意，得m≤﹣ ，而當(dāng)k＜0時，﹣ =﹣1﹣ ＞﹣1，可確定m的范圍，在范圍內(nèi)取m的一個值即可．
【考點精析】利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．