如圖1,在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起,A為公共頂點,∠BAC=∠AGF=90°,它們的斜邊長為4.若△ABC固定不動,△AFG繞點A旋轉(zhuǎn),AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設(shè)BE=a,CD=b.
(1)請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形,并選取其中一對進行證明;
(2)求a•b的值;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當△AFG旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時,AG與BC交于點E,AF的延長線與CB的延長線交于點D,那么a•b的值是否發(fā)生了變化?為什么?
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分析:(1)△ADE∽△ABE;△ACD∽△ABE.由于∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°,那么∠BAE=∠CDA,而∠B=∠C=45°,易證△ABE∽△DCA,由于D在BC上,且D點與B點不重合,那么△ADE不≌△ABE,同理可證△ADE∽△ABE;
(2)由于斜邊長是4,根據(jù)勾股定理易求直角邊等于2
2
,由(1)知△ACD∽△ABE,利用比例線段可求a•b的值;
(3)不變.由于∠BEA=∠EAC+45°,∠CAD=45°+∠EAC,易得∠BEA=∠CAD,而∠ABE=∠DCA=45°,可證△EBA∽△ACD,利用比例線段可求BE•CD=AB•AC,而根據(jù)題意知AB=AC=2
2
,從而可求BE•CD的值,可得不變的結(jié)論.
解答:解:(1)△ADE∽△ABE;△ACD∽△ABE.
下面進行證明△ACD∽△ABE,
∵∠FAG=∠ACB=45°,
∴∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°,
∴∠BAE=∠CDA,
又∵∠B=∠C=45°,
∴△ABE∽△DCA,
由于D在BC上,且D點與B點不重合,
∴△ADE不≌△ABE;
同理可得△ADE∽△ABE;

(2)∵△ACD∽△ABE,
BE
CA
=
BA
CD

由依題意,可知:CA=BA=2
2

a
2
2
=
2
2
b
,
∴a•b=8;

(3)不變.
∵∠BEA=∠EAC+45°,∠CAD=45°+∠EAC,
∴∠BEA=∠CAD,
又∵∠ABE=∠DCA=45°,
∴△EBA∽△ACD,
BE
AB
=
AC
DC

∴BE•CD=AB•AC=2
2
×2
2
=8.
點評:本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用三角形外角的性質(zhì),證明∠BAE=∠CDA,∠BEA=∠CAD.
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相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起,A為公共頂點,∠BAC=∠AGF=90°,它們的斜邊長為2,若△AFG繞點旋轉(zhuǎn),AF、AG與邊BC的交點分別為點D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合).
(1)請在圖1中找出兩對相似而不全等的三角形,并選擇其中一對進行證明;
(2)△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸,BC邊上的高所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系(如圖2).在邊BC上找一點D使BD=CE,求出點D的坐標,并通過計算驗證BD2+CE2=DE2
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,(2)中的等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否始終成立?若成立請證明你的結(jié)論;若不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

當0°<α<60°時,下列關(guān)系式中有且僅有一個正確.
A.2sin(α+30°)=sinα+
3

B.2sin(α+30°)=2sinα+
3

C.2sin(α+30°)=
3
sinα+cosα

(1)正確的選項是
 
;
(2)如圖1,△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,請利用此圖證明(1)中的結(jié)論;
(3)兩塊分別含45°和30°的直角三角板如圖2方式放置在同一平面內(nèi),BD=8
2
,求S△ADC
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(1)觀察與猜想:已知當0°<α<60°時,下列關(guān)系式有且只有一個正確,正確的是
C
C
(填代號)
A.2sin(30°+α)=sinα+
3
   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
3

C.2sin(30°+α)=
3
sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
(3)應(yīng)用新知識解決問題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8
2
,求S△ABC

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,在同一平面內(nèi),四條線AB、BC、CD、DA首尾順次相接,AD、BC相交于點O,AM、CN分別是∠BAD和∠BCD的平分線,∠B=α,∠D=β.
(1)如圖2,AM、CN相交于點P.
①當α=β時,判斷∠APC與α的大小關(guān)系,并說明理由.
②當α>β時,請直接寫出∠APC與α,β的數(shù)量關(guān)系.
(2)是否存在AM∥CN的情況?若存在,請判斷并說明α,β的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請說明理由.

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