【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0,其中k為常數(shù).
(1)求證:無(wú)論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;
(2)已知函數(shù)y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限,求k的取值范圍;
(3)若原方程的一個(gè)根大于3,另一個(gè)根小于3,求k的最大整數(shù)值.
【答案】
(1)證明:∵△=(k﹣5)2﹣4(1﹣k)=k2﹣6k+21=(k﹣3)2+12>0,
∴無(wú)論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根
(2)解:∵二次函數(shù)y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限,
∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1,
∴拋物線開口方向向上,
∵△=(k﹣3)2+12>0,
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1 , x2 ,
∴x1+x2=5﹣k>0,x1x2=1﹣k≥0,
解得k≤1,
即k的取值范圍是k≤1
(3)解:設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1 , x2 ,
根據(jù)題意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,
即x1x2﹣3(x1+x2)+9<0,
又x1+x2=5﹣k,x1x2=1﹣k,
代入得,1﹣k﹣3(5﹣k)+9<0,
解得k< .
則k的最大整數(shù)值為2
【解析】 (1)先計(jì)算b2-4ac,再將b2-4ac的值轉(zhuǎn)化為一個(gè)的代數(shù)式的平方加上一個(gè)正數(shù),即可證出結(jié)論。
(2)根據(jù)此拋物線的圖像不經(jīng)過(guò)第三象限,而拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn),可知拋物線的頂點(diǎn)在x軸的下方(第四象限)且圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,根據(jù)二次項(xiàng)的系數(shù)可知拋物線開口向上,設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1 , x2 , 根據(jù)x1+x2>0,x1x2≥0,建立關(guān)于k的不等式組,求解即可。
(3)設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1 , x2 , 根據(jù)已知原方程的一個(gè)根大于3,另一個(gè)根小于3,建立不等式(x1﹣3)(x2﹣3)<0,,再將不等式轉(zhuǎn)化為含有x1x2和x1+x2的式子,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,建立關(guān)于k的不等式,求解即可。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,E為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC,垂足為F,過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交AC于點(diǎn)G.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)請(qǐng)你判斷∠BEF與∠ADG的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為適應(yīng)日益激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)要求,某工廠從2016年1月且開始限產(chǎn),并對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行為期5個(gè)月的升降改造,改造期間的月利潤(rùn)與時(shí)間成反比例;到5月底開始恢復(fù)全面生產(chǎn)后,工廠每月的利潤(rùn)都比前一個(gè)月增加10萬(wàn)元.設(shè)2016年1月為第1個(gè)月,第x個(gè)月的利潤(rùn)為y萬(wàn)元,其圖象如圖所示,試解決下列問題:
(1)分別求該工廠對(duì)生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造前后,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)到第幾個(gè)月時(shí),該工廠月利潤(rùn)才能再次達(dá)到100萬(wàn)元?
(3)當(dāng)月利潤(rùn)少于50萬(wàn)元時(shí),為該工廠的資金緊張期,問該工廠資金緊張期共有幾個(gè)月?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,BD⊥AC于點(diǎn)D.
(1)若∠C=∠ABC=2∠A,則∠DBC= °;
(2)若∠A=2∠CBD,求證:∠ACB=∠ABC;
(3)如圖2,在(2)的條件下,E是AD上一點(diǎn),F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接BE、CF,使∠BEC=∠CFB,∠BCF=2∠ABE,求∠EBC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+k+2與x軸的公共點(diǎn)有兩個(gè).
(1)求k的取值范圍;
(2)當(dāng)k=1時(shí),求拋物線與x軸的公共點(diǎn)A和B的坐標(biāo)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)觀察圖象,當(dāng)x取何值時(shí)y>0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商人將單價(jià)為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,已知這種商品每提高2元,其銷量就要減少10件,為了使每天所賺利潤(rùn)最多,該商人應(yīng)將銷售價(jià)(為偶數(shù))提高( )
A.8元或10元
B.12元
C.8元
D.10元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是高,AE是角平分線.
(1)若∠B=30°,∠C=70°,則∠CAE=______°,∠DAE=______°.
(2>若∠B=40°,∠C=80°.則∠DAE=______°.
(3)通過(guò)探究,小明發(fā)現(xiàn)將(2)中的條件“∠B=40°,∠C=80°”改為“∠C-∠B=40°”,也求出了∠DAE的度數(shù),請(qǐng)你寫出小明的求解過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“友誼商場(chǎng)”某種商品平均每天可銷售100件,每件盈利20元.“五一”期間,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件該商品每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出10件.設(shè)每件商品降價(jià)x元,請(qǐng)回答:
(1)降價(jià)后每件商品盈利元,商場(chǎng)日銷售量件(用含x的代數(shù)式表示);
(2)求每件商品降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到最大?最大日盈利是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列運(yùn)算結(jié)果正確的是( )
A. ﹣ =﹣
B.(﹣0.1)﹣2=0.01
C.( )2÷ =
D.(﹣m)3?m2=﹣m6
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