Question

（1）解分式方程：

x

x+1

+6•

x+1

x

-5=0．
（2）已知在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=-x+4和反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象有兩個不同的交點P_l（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本題解答時需將

x

x+1

看成整體，然后將分式方程化成一元二次方程，最后再求解；
（2）把y=-x+4代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=

k

x

消去y，得到一個一元二次方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關系代入x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，即可求得k的值，最后要檢驗．

解答：解：
（1）設

x

x+1

=y，
則原方程變?yōu)閥+

6

y

-5=0，即y²-5y+6=0，
解得y₁=2，y₂=3，
則

x

x+1

=2，解得：x=-2，

x

x+1

=3，解得：x=-

3

2

，
經檢驗都是原方程的根，
所以原方程的根為x₁=-2，x₂=-

3

2

；
（2）根據(jù)題意可知：由方程y=-x+4和反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）消去y，
得：x²-4x+k=0，
由根與系數(shù)的關系可得：x₁+x₂=4，x₁•x₂=k，
則由x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，
得（x₁+x₂）²+6x₁•x₂-（x₁•x₂）²=0，即k²-6k-16=0，
解得：k₁=-2，k₂=8，
又∵方程有兩個不同的解，
∴b²-4ac＞0，
∴k＜4，
∴k=-2是本方程的解．

點評：解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解；分式方程一定注意要驗根；第二題解決的關鍵是利用消元的方法把函數(shù)圖象交點坐標的問題轉化為一元二次方程的問題，利用根與系數(shù)的關系求解．