Question

【題目】已知，如圖，△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一點(diǎn)，且∠ADB＝2∠C，P是BC上任一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F．

（1）求證：CD＝BD；

（2）寫出線段AB，PF和PE之間數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PE+PF＝AB．證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后由∠ADB＝2∠C得出∠C=∠DBC，再根據(jù)等角對等邊可得CD=BD；
（2）連接PD，利用△BCD面積的兩種不同求法列出等式，即可得出結(jié)果．

（1）證明：在△BCD中，∠ADB＝∠C+∠DBC，

∵∠ADB＝2∠C，

∴∠C＝∠DBC，

∴CD＝BD；

（2）解：PE+PF＝AB．證明如下：

連接PD，

則S△BCD＝S△BDP+S△CDP＝BDPE+CDPF＝CDAB，

∵CD＝BD，

∴PE+PF＝AB．