Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y=

1

4

x2+1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q（x，y）在拋物線上，點(diǎn)P（t，0）在x軸上．
（1）寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時(shí)．
①求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；
②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCO是平行四邊形，那么對(duì)邊AB和OC相等，由此可求出AB的長，由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸（即y軸）對(duì)稱，由此可得到A、B的橫坐標(biāo)，將它們代入拋物線的解析式中即可求出A、B的坐標(biāo)，也就得到了M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)C、M的坐標(biāo)，易求得OM、OC的長；過Q作QH⊥x軸于H，易證得△HQP∽△OMC，根據(jù)相似三角形得到的比例線段，即可求出t、x的函數(shù)關(guān)系式；
在求自變量的取值范圍時(shí)，可參考兩個(gè)方面：一、P、C重合時(shí)，不能構(gòu)成四邊形PCMQ；二、Q與B或A重合時(shí)，四邊形PCMQ是平行四邊形；只要x不取上述兩種情況所得的值即可；
②由于CM、PQ的長不確定，因此要分類討論：
一、CM＞PQ，則CM：PQ=2：1，由（2）的相似三角形知OM=2QH，即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，由此可求得t的值；
二、CM＜PQ，則CM：PQ=1：2，后同一．

解答：解：（1）∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對(duì)稱軸，
∴A，B的橫坐標(biāo)分別是2和-2，
代入y=

1

4

x2+1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2），（2分）

（2）①過點(diǎn)Q作QH⊥x軸，連接MC．
∵CM∥PQ，
∴∠QPC=∠MCO，
∵∠COM=∠PHQ=90°，
∴△HQP∽△OMC，
設(shè)垂足為H，則HQ=y，HP=x-t，
由△HQP∽△OMC，得：

y

2

=

x-t

4

，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=

1

4

x2+1上，
∴t=-

1

2

x2+x-2．（2分）
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，t=-4，解得x=1±

5

，
當(dāng)Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x=±2
∴x的取值范圍是x≠1±

5

，且x≠±2的所有實(shí)數(shù)；（2分）
②分兩種情況討論：
（1）當(dāng)CM＞PQ時(shí)，則點(diǎn)P在線段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍，即2=2（

1

4

x2+1），解得x=0，
∴t=-

1

2

02+0-2=-2；（2分）
（2）當(dāng)CM＜PQ時(shí)，則點(diǎn)P在OC的延長線上，
∵CM∥PQ，CM=

1

2

PQ，
∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍，即

1

4

x2+1=2×2，
解得：x=±2

3

；（2分）
當(dāng)x=-2

3

時(shí)，得t=-

1

2

(2

3

)2-2

3

-2=-8-2

3

，
當(dāng)x=2

3

時(shí)，得t=2

3

-8．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱性、梯形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．