【題目】在⊙O中,AB為⊙O的直徑,AC是弦, ,
(1)在圖1中,P為直徑BA延長線上的一點,當(dāng)CP與⊙O相切時,求PO的長;

(2)如圖2,一動點M從A點出發(fā),在⊙O上按逆時針方向運動一周,當(dāng) 時,求半徑OM所掃過的扇形的面積.

【答案】
(1)解:∵CP與⊙O相切,OC是半徑.

∴CP⊥OC,

又∵∠OAC=∠AOC=60°,

∴∠P=90°-∠AOC=30°,

∴在Rt△POC中,CO= PO=4,

則PO=2CO=8


(2)解:如圖,

①作點C關(guān)于直徑AB的對稱點M1,連接AM1,OM1

易得S△M1AO=S△CAO,∠AOM1=60°∴當(dāng)點M運動到M1時,S△MAO=S△CAO,

此時點M經(jīng)過的弧長為 ,

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= ;

②過點M1作M1M2∥AB交⊙O于點M2,連接AM2,OM2,易得S△M2AO=S△CAO

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴當(dāng)點M運動到M2時,S△MAO=S△CAO,此時點M經(jīng)過的弧長為 ,

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= × ×4= π;

③過點C作CM3∥AB交⊙O于點M3,連接AM3,OM3,易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°,

= ×240或 = ×2=

∴當(dāng)點M運動到M3時,S△MAO=S△CAO,此時點M經(jīng)過的弧長為 ,

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= × ×4= ;

④當(dāng)點M運動到C時,M與C重合,S△MAO=S△CAO,

此時點M經(jīng)過的弧長為 ×300°或 π+ =

∴半徑OM所掃過的扇形的面積= × ×4=


【解析】(1)根據(jù)CP與⊙O相切,得出CP⊥OC,根據(jù)題意易證△OAC是等邊三角形,可求出∠P=30°,再根據(jù)直角三角形中,30°的直角邊等于斜邊的一半,求出OP的長。
(2)如圖,當(dāng)S△MAO=S△CAO時,動點M的位置有四種.①作點C關(guān)于直徑AB的對稱點M1,連接AM1,OM1,先證S△MAO=S△CAO,再求出點M經(jīng)過的弧長,即可求出半徑OM所掃過的扇形的面積;②過點M1作M1M2∥AB交 O于點M2,連接AM2,OM2,③過點C作CM3∥AB交 O于點M3,連接AM3,OM3;④當(dāng)點M運動到C時,M與C重合,求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過的度數(shù),再根據(jù)弧長公式求得點M經(jīng)過的弧長,然后求出半徑OM所掃過的扇形的面積。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解含30度角的直角三角形的相關(guān)知識,掌握在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半,以及對勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

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