【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E為BC上一點(diǎn),BE:CE=3:2,連接AE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AB的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PF∥BC交直線AE于點(diǎn)F.
(1)線段AE= ;
(2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),EF的長(zhǎng)度為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),以F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC都相切?并求此時(shí)⊙F的半徑;
(4)如圖2,將△AEC沿直線AE翻折,得到△AEC',連結(jié)AC',如果∠ABF=∠CBC′,求t值.(直接寫出答案,不要求解答過程).
【答案】(1)5;(2)y=;(3)12;(4).
【解析】(1)由矩形性質(zhì)知BC=AD=5,根據(jù)BE:CE=3:2知BE=3,利用勾股定理可得AE=5;
(2)由PF∥BE知,據(jù)此求得AF=t,再分0≤t≤4和t>4兩種情況分別求出EF即可得;
(3)由以點(diǎn)F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC相切時(shí)PF=PG,再分t=0或t=4、0<t<4、t>4這三種情況分別求解可得;
(4)連接CC′,交直線AE于點(diǎn)Q,先證△CQE∽△ABE得,據(jù)此求得CQ=、CC′=2CQ=,再證△ABF∽△CBC′得,據(jù)此求得AF=,根據(jù)可得答案.
(1)∵四邊形ABCD為矩形,
∴BC=AD=5,
∵BE:CE=3:2,
則BE=3、CE=2,
∴AE==5,
故答案為:5;
(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),即0≤t≤4,
∵PF∥BE,
∴,即,
∴AF=,
則EF=AE﹣AF=5﹣,即y=5﹣ (0≤t≤4);
如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),即t>4,
此時(shí)EF=AF﹣AE=﹣5,即y=﹣5 (t>4);
綜上,y= ;
(3)以點(diǎn)F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC相切時(shí),PF=PG,
分以下三種情況:①當(dāng)t=0或t=4時(shí),顯然符合條件的⊙F不存在;
②當(dāng)0<t<4時(shí),如圖1,作FG⊥BC于點(diǎn)G,
則FG=BP=4﹣t,
∵PF∥BC,
∴△APF∽△ABE,
∴,即,
∴PF=t,
由4﹣t=t可得t=,
則此時(shí)⊙F的半徑PF=;
③當(dāng)t>4時(shí),如圖2,同理可得FG=t﹣4、PF=t,
由t﹣4=t可得t=16,
則此時(shí)⊙F的半徑PF=12;
(4)如圖3,連接CC′,交直線AE于點(diǎn)Q,
∵△CAQ≌△C′AQ,
∴AC=AC′、∠CAQ=∠C′AQ,
則∠CQE=∠ABE=90°,
∵∠CEQ=∠AEB,
∴△CQE∽△ABE,
∴,即,
∴CQ=,
則CC′=2CQ=,
∵∠ABF=∠CBC′、∠BAE=∠ECC′,
∴△ABF∽△CBC′,
∴,即,
解得: AF=,
由(2)知AF=t,
∴,
解得:t=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年11月2日﹣4日,江西省中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐教育推進(jìn)會(huì)和全國(guó)中小學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)(研學(xué)實(shí)踐教育)論壇相繼在撫州舉行.為拓寬學(xué)生視野,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)適應(yīng)社會(huì),促進(jìn)書本知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的深度融合,撫州市某中學(xué)決定組織部分班級(jí)去仙蓋山開展研學(xué)旅行活動(dòng),在參加此次活動(dòng)的師生中,若每位老師帶17個(gè)學(xué)生,還剩12個(gè)學(xué)生沒人帶;若每位老師帶18個(gè)學(xué)生,就有一位老師少帶4個(gè)學(xué)生.參加此次研學(xué)旅行活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a、b、c滿足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判斷以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形?若能構(gòu)成三角形,此三角形是什么形狀?并求出三角形的面積;若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CD⊥AD于F,且BC=DC.
(1)BE與DF是否相等?請(qǐng)說明理由;
(2)若DF=1,AD=3,求AB的長(zhǎng);
(3)若△ABC的面積是23,△ADC面積是18,直接寫出△BEC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中∠ACB=90°,CD是AB邊上的高,∠BAC的角平分線AF交CD于E,則△CEF必為( )
A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米,頂端A靠在墻AC上,這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米,梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上,測(cè)得BD長(zhǎng)為0.5米,則梯子頂端A下落了( 。┟祝
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F,已知∠BDC=62°,則∠DFE的度數(shù)為( 。
A. 31° B. 28° C. 62° D. 56°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩袋中各裝有若干顆球,其種類與數(shù)量如表所示.今阿馮打算從甲袋中抽出一顆球,小潘打算從乙袋中抽出一顆球,若甲袋中每顆球被抽出的機(jī)會(huì)相等,且乙袋中每顆球被抽出的機(jī)會(huì)相等,則下列敘述何者正確?( )
甲袋 | 乙袋 | |
紅球 | 2顆 | 4顆 |
黃球 | 2顆 | 2顆 |
綠球 | 1顆 | 4顆 |
總計(jì) | 5顆 | 10顆 |
A. 阿馮抽出紅球的機(jī)率比小潘抽出紅球的機(jī)率大
B. 阿馮抽出紅球的機(jī)率比小潘抽出紅球的機(jī)率小
C. 阿馮抽出黃球的機(jī)率比小潘抽出黃球的機(jī)率大
D. 阿馮抽出黃球的機(jī)率比小潘抽出黃球的機(jī)率小
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