Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，點D、E分別是兩腰AC、BC上的點，連接AE、BD相交于點O，∠1=∠2．
（1）求證：OD=OE；
（2）求證：四邊形ABED是等腰梯形；
（3）若AB=3DE，△DCE的面積為2，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，∵△ABC是等腰三角形，

∴AC=BC，

∴∠BAD=∠ABE，

又∵AB=BA、∠2=∠1，

∴△ABD≌△BAE（ASA），

∴BD=AE，

又∵∠1=∠2，

∴OA=OB，

∴BD﹣OB=AE﹣OA，

即：OD=OE

（2）證明：由①得OD=OE，

∴∠DOE=∠BOA，

，

∴△DOE∽△BOA，

∴∠EDO=∠ABO，

∴DE∥AB，

又∵∠DAB=∠EBA，

∴四邊形ABEO為等腰梯形

（3）解：由（2）可知：DE∥AB，

∴∠CED=∠CBA，∠CDE=∠CAB，

∴△DCE∽△ACB（AA），

∴ =（ ）2，

即 =（ ）2= ．

∴S△ACB=18，

∴S四邊形ABED=S△ACB﹣S△DCE=18﹣2=16

【解析】（1）如圖，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，然后利用已知條件證明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性質(zhì)得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可證明OD=OE；（2）由（1）得OD=OE根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OED=∠ODE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠OED= （180°﹣∠DOE），∠1= （180°﹣∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行線的判定得到DE∥AB，最后證明AD與BE不平行，這樣就可以證明梯形ABED是等腰梯形；（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可求出S△ACB ， 然后就可以求出S四邊形ABED ．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的判定，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；兩腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；兩條對角線相等的梯形是等腰梯形即可以解答此題．