Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，CD為中線(xiàn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上運(yùn)動(dòng)，將線(xiàn)段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在射線(xiàn)BC上，連接BQ，設(shè)∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）．
（1）當(dāng)0°＜α＜30°時(shí)，
①在圖1中依題意畫(huà)出圖形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究線(xiàn)段CE，AC，CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段CE，AC，CQ之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）圖形見(jiàn)解析；∠BQE=60°+2α；（2）CE+AC=CQ；證明見(jiàn)解析；（3）AC-CE=CQ．

【解析】

（1）①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)的QA=QB，進(jìn)而得出QB=QE，最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
②延長(zhǎng)CA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接QF，作QH⊥AC于點(diǎn)H．先判斷出△QAF≌△QEC，得出QF=QC，再判斷出△QCF是底角為30度的等腰三角形，再構(gòu)造出直角三角形即可得出結(jié)論；
（2）同②的方法即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)0°＜α＜30°時(shí)，
①畫(huà)出的圖形如圖1所示，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°．
∵CD為等邊三角形的中線(xiàn)，
∴CD是AB的垂直平分線(xiàn)，

∵Q為線(xiàn)段CD上的點(diǎn)，
∴QA=QB．
∵∠DAQ=α，
∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵線(xiàn)段QE為線(xiàn)段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，
∴QE=QA．
∴QB=QE．
∴∠QEB=∠QBE=60°-α，
∴∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2（60°-α）=60°+2α；
②CE+AC=CQ；證明：

如圖2，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)F，使得AF=CE，連接QF，作QH⊥AC于點(diǎn)H．

∵∠BQE=60°+2α，點(diǎn)E在BC上，
∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=（60°+2α）+（60°-α）=120°+α．
∵點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠DAQ=α，
∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．
∴∠QAF=∠QEC．
又∵AF=CE，QA=QE，
∴△QAF≌△QEC．
∴QF=QC．
∵QH⊥AC于點(diǎn)H，
∴FH=CH，CF=2CH．
∵在等邊三角形ABC中，CD為中線(xiàn)，
點(diǎn)Q在CD上，
∴∠ACQ=∠ACB=30°，
即△QCF為底角為30°的等腰三角形．
∴CH＝CQcos∠HCQ＝CQcos30°＝CQ．
∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH＝CQ．
（2）如圖3，當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，
在AC上取一點(diǎn)F使AF=CE，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°．
∵CD為等邊三角形的中線(xiàn)，
∵Q為線(xiàn)段CD上的點(diǎn)，
∴CD是AB的垂直平分線(xiàn)，
由等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性得QA=QB．
∵∠DAQ=α，
∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵線(xiàn)段QE為線(xiàn)段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，
∴QE=QA．
∴QB=QE．
∴∠QEB=∠QBE=60°-α=∠QAF，
又∵AF=CE，QA=QE，
∴△QAF≌△QEC．
∴QF=QC．
∵QH⊥AC于點(diǎn)H，
∴FH=CH，CF=2CH．
∵在等邊三角形ABC中，CD為中線(xiàn)，點(diǎn)Q在CD上，
∴∠ACQ=∠ACB=30°，
即△QCF為底角為30°的等腰三角形．
∴CH＝CQcos∠HCQ＝CQcos30°＝CQ．
∴AC-CE=AC-AF=CF=2CH＝CQ．