Question

【題目】如圖，半徑為 1 的小圓與半徑為 2 的大圓，有一個(gè)公共點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，小圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒π個(gè)單位，大圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒 2π個(gè)單位，

（1）若小圓不動(dòng)，大圓沿?cái)?shù)軸來回滾動(dòng)，規(guī)定大圓向右滾動(dòng)的時(shí)間記為正數(shù)，向左滾動(dòng)時(shí)間即為負(fù)數(shù)，依次滾動(dòng)的情況錄如下（單位：秒）：

﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6

①第 次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)；

②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）

（2）若兩圓同時(shí)在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動(dòng)，滾動(dòng)一段時(shí)間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距 9π，求此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)①4②8π;(2)小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π.

或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣6π

【解析】

（1）①算出每次滾動(dòng)后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后比較大小即可；②總路程與方向無關(guān)把每次的移動(dòng)的距離相加即可；
（2）分同向和反相兩種情況討論，同向路程之差為9π，反向路程之和為9π，然后求出相應(yīng)時(shí)間，再根據(jù)不同方向確定兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù).

解：（1）①：第1次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π|＝2π

第2次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π|＝2π

第3次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π

第4次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π

第5次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π

第6次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π，所以第四次滾動(dòng)后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)．故答案為4；

②總路程為：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π

此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

（2）當(dāng)它們同向運(yùn)動(dòng)時(shí)秒，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣18π，當(dāng)它們反向運(yùn)動(dòng)時(shí)秒，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣6π.