Question

【題目】（1）如圖，為正三角形，點為邊上任意一點，以為邊作正，連接，求的值；

（2）如圖，為等腰直角三角形，，點為腰上任意一點，以為斜邊作等腰直角，連接，求的值；

（3）如圖，為任意等腰三角形，點為腰上任意一點，以為底邊作等腰，使，并且BC=AC，連接，寫出的值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）1；（2） （3）.

【解析】

（1）由三角形ABC與三角形CDE都為正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及內(nèi)角為60°，利用等式的性質(zhì)得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB與三角形DCA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AD，即可求出所求之比；

（2）由三角形CDE與三角形ABC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CE=CD，BC=AC，以及銳角為45°，利用等式的性質(zhì)得到∠ECB=∠DCA，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ECB與三角形DCA相似，利用相似三角形對應邊成比例即可求出所求之比；

（3）仿照前兩問，推理過程類似，求出所求之比即可．

（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，

∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

在△ECB和△DCA中，

，

∴△ECB≌△DCA（SAS），

∴BE=AD，

則=1；

（2 ）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，

∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴；

（3）依此類推，當BC=AC時，，理由為：

∵等腰△ABC和等腰△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴．