Question

【題目】數(shù)學(xué)活動問題情境：

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，連接CE′，BD′．探究CE′與BD′的數(shù)量關(guān)系；

探究發(fā)展：

（1）圖1中，猜想CE′與BD′的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2，若將問題中的條件“D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)”改為“D為AB邊上任意一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E“，其他條件不變，（1）中CE′與BD′的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請說明理由；

拓展延伸：

（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AD′E′，連接CE′，BD′，請你仔細(xì)觀察，提出一個你最關(guān)心的數(shù)學(xué)問題（例如：CE′與BD′相等嗎？）．

Answer 1

【答案】解：（1）CE′＝BD′；（2）結(jié)論不變；（3）結(jié)論：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四邊形AD′DE是菱形．（答案不唯一）

【解析】

（1）如圖1中，結(jié)論：CE′＝BD′．只要證明△D′AB≌△E′AC即可；

（2）結(jié)論不變，證明方法類似；

（3）結(jié)論：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四邊形AD′DE是菱形．（答案不唯一）

解：（1）如圖1中，結(jié)論：CE′＝BD′．

理由：∵AB＝AC，AD＝DB，AE＝EC，

∴AD＝AE，AD′＝AE′，∠D′AE′＝∠BAC＝90°，

∴∠D′AB＝∠E′AC，

在△D′AB和△′AC中，

，

∴△D′AB≌△E′AC，

∴BD′＝CE′．

（2）如圖2中，結(jié)論不變．

理由：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE，AD′＝AE′，∠D′AE′＝∠BAC＝90°，

∴∠D′AB＝∠E′AC，

在△D′AB和△′AC中，

，

∴△D′AB≌△E′AC，

∴BD′＝CE′．

（3）如圖3中，結(jié)論：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四邊形AD′DE是菱形．（答案不唯一）

理由：∵△ADE，△AD′D，△ABC都是等邊三角形，

∴D′A＝AD，∥D′AB＝∠DAC＝60°，AB＝AC，

∴△D′AB≌△DAC．

由DD′＝DE，∠D′DB＝∠DEC＝120°．BD＝EC，

可得△D′DB≌△DEC，

∴∠BD′D＝∠CDE，

∵AD′＝DD′＝DE＝AE，

∴四邊形AD′DE是菱形．