Question

已知：在△ABC中，AB=AC，若將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到△FEC．
（1）試猜想AE與BF有何關(guān)系？說明理由；
（2）若△ABC的面積為3cm²，求四邊形ABFE的面積；
（3）當(dāng)∠ACB為多少度時，四邊形ABFE為矩形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△FEC是△ABC順時針旋轉(zhuǎn)180°產(chǎn)生的，可知，AC=CF，BC=CE，所以得到四邊形ABFE是平行四邊形；由平行四邊形的性質(zhì)可知AE∥BF且AE=BF；
（2）過點A作AD⊥BC于點D，則可求得S_△ABC=3cm²，又因為四個三角形等底同高，所以S_{四邊形ABFE}=4×S_△ABC，可求得面積是12cm²；
（3）當(dāng)∠ACB=60°時，AB=AC=BC，可得AF=BE，即四邊形ABCD是矩形．

解答：解：（1）∵△FEC是△ABC順時針旋轉(zhuǎn)180°產(chǎn)生的，
∴ACF、BCE共線且AC=CF，BC=CE（2分），
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AE∥BF且AE=BF．（3分）

（2）過點A作AD⊥BC于點D，
則S_△ABC=

1

2

BC•AD=3cm²．（5分）
又∵平行四邊形ABFE中，BC=CE，S_△ABC=S_△AEC，S_△FBC=S_△FEC，
又∵AC=CF，
∴S_△AEC=S_△FBC，
∴四個三角形面積相等，
∴S_{四邊形ABFE}=4×S_△ABC=12cm²．（6分）

（3）∠ACB=60°時，四邊形ABEF是矩形，（7分）
理由：∵當(dāng)∠ACB=60°時，AB=AC=BC，
∴AF=BE，（8分）
∴四邊形ABEF是矩形．（9分）

點評：主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相等的線段和全等的圖形．熟練掌握矩形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)才能在綜合題中靈活運用．