Question

已知：直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長是

5

、面積是

24

、高BE的長是

24

5

；
（2）若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，求出當(dāng)t=4秒時(shí)，△APQ為等腰三角形時(shí)k的值．

Answer 1

分析：（1）求出OC=4，OD=3，在Rt△COD中，由勾股定理求出CD=5，求出AC=2OC=8，BD=2OD=6，即可求出菱形ABCD的面積（

1

2

×AC×BC），根據(jù)S=

1

2

×AC×BE，求出BE即可；
（2）求出AP=t，AQ=10-2t，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，根據(jù)△AQG∽△ABE求出QG=

48

5

-

48

25

t，代入S=

1

2

AP•QG求出即可；
（3）當(dāng)t=4秒時(shí)，求出AP=4，以下分兩種情況討論：第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)，只有Q₁A=Q₁P，過點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQ₁F求出FM=

3

2

，Q₁F=

33

10

，CQ₁=

4

3

QF=

22

5

，由CQ₁=4k，求出即可；第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí)，存在兩點(diǎn)Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，根據(jù)CB+BQ₂=10-4=6得出4k=6，求出即可；
②若PA=PQ₃，過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，由△ANP∽△AEB，得

AN

AE

=

AP

AB

，求出AN=

28

25

，AQ₃=2AN=

56

25

，求出BC+BQ₃=

194

25

，由4k=

194

25

，求出即可．

解答：解：（1）∵C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=5，
即菱形ABCD的邊長是5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC=5，AC⊥BD，AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形ABCD的面積是

1

2

×AC×BC=

1

2

×6×8=24，
∴24=

1

2

×AC×BE，
∴BE=

24

5

；

（2）由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
如圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得：
△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48

25

t，
∴S=

1

2

AP•QG=

1

2

•t•（

48

5

-

48

25

t），
S=-

24

25

t²+

24

5

t；

（3）當(dāng)t=4秒時(shí)，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，
∴AP=4，
以下分兩種情況討論：
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在點(diǎn)Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如圖2，過點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交AC于點(diǎn)F，
則AM=

1

2

AP=2，
∵△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，
∴

FM

AM

=

FQ1

CQ1

=

OD

AO

=

3

4

，
∴FM=

3

2

，
∴Q₁F=MQ₁-FM=

33

10

，
∴CQ₁=

4

3

QF=

22

5

，
由CQ₁=4k，
∴k=

11

10

；
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí)，存在兩點(diǎn)Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，如圖3，
CB+BQ₂=10-4=6．由4k=6，得k=

3

2

；
②若PA=PQ₃，如圖4，
過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB，得

AN

AE

=

AP

AB

，
∵AE=

AB2-BE2

=

7

5

，
∴AN=

28

25

，
∴AQ₃=2AN=

56

25

，
∴BC+BQ₃=10-

56

25

=

194

25

，由4k=

194

25

，
得k=

97

50

．
綜上所述，當(dāng)t=4秒，使得△APQ為等腰三角形的k的值為

11

10

或

3

2

或

97

50

．
故答案為：5，24，

24

5

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，難度偏大，用了分類討論思想．