Question

已知：直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是______、面積是______、高BE的長(zhǎng)是______；
（2）若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位．當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，求出當(dāng)t=4秒時(shí)，△APQ為等腰三角形時(shí)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OC=4，OD=3，在Rt△COD中，由勾股定理求出CD=5，求出AC=2OC=8，BD=2OD=6，即可求出菱形ABCD的面積（×AC×BC），根據(jù)S=×AC×BE，求出BE即可；
（2）求出AP=t，AQ=10-2t，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，根據(jù)△AQG∽△ABE求出QG=-t，代入S=AP•QG求出即可；
（3）當(dāng)t=4秒時(shí)，求出AP=4，以下分兩種情況討論：第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)，只有Q₁A=Q₁P，過(guò)點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQ₁F求出FM=，Q₁F=，CQ₁=QF=，由CQ₁=4k，求出即可；第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí)，存在兩點(diǎn)Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，根據(jù)CB+BQ₂=10-4=6得出4k=6，求出即可；
②若PA=PQ₃，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，由△ANP∽△AEB，得=，求出AN=，AQ₃=2AN=，求出BC+BQ₃=，由，求出即可．
解答：解：（1）∵C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=5，
即菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC=5，AC⊥BD，AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形ABCD的面積是×AC×BC=×6×8=24，
∴24=×AC×BE，
∴BE=；

（2）由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得：
△AQG∽△ABE，
∴=，
∴QG=-t，
∴S=AP•QG=•t•（-t），
S=-t²+t；

（3）當(dāng)t=4秒時(shí)，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，
∴AP=4，
以下分兩種情況討論：
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在點(diǎn)Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如圖2，過(guò)點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交AC于點(diǎn)F，
則AM=AP=2，
∵△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，
∴===，
∴FM=，
∴Q₁F=MQ₁-FM=，
∴CQ₁=QF=，
由CQ₁=4k，
∴k=；
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時(shí)，存在兩點(diǎn)Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，如圖3，
CB+BQ₂=10-4=6．由4k=6，得；
②若PA=PQ₃，如圖4，
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB，得=，
∵AE==，
∴AN=，
∴AQ₃=2AN=，
∴BC+BQ₃=10-=，由，
得．
綜上所述，當(dāng)t=4秒，使得△APQ為等腰三角形的k的值為或或．
故答案為：5，24，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，難度偏大，用了分類討論思想．