Question

（2004•廣州）已知拋物線y=（m+1）x²-2mx+m（m為整數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），頂點(diǎn)為P，且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）判斷點(diǎn)P是否在線段OA上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），并說明理由；
（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在實(shí)數(shù)m，使x₁＜m＜x₂？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可先表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，令y=0，那么得出的一元二次方程應(yīng)該有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即△＞0（且m≠-1），由此可得出m的取值范圍．然后用m的取值范圍來判斷P點(diǎn)是否在線段OA上即可；
（2）由于x₁＜m＜x₂，那么（x₁-m）（x₂-m）＜0，可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，來求出此時(shí)m的取值范圍．
解答：解：（1）點(diǎn)P不在線段OA上，
理由：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程（m+1）x²-2mx+m=0（*）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=4m²-4m（m+1）＞0，
又∵m+1≠0，
∴m＜0，且m≠-1．
根據(jù)題意可知：P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
因此分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，m+1＞0，＜0，點(diǎn)P在第三象限，此時(shí)點(diǎn)P不在線段OA上；
②當(dāng)m＜-1時(shí)，m+1＜0，＞0，點(diǎn)P在第一象限，
∵-1=＞0，
∴＞1
∴點(diǎn)P不在線段OA．綜上所述，點(diǎn)P不在線段OA上；
（2）存在實(shí)數(shù)m滿足x₁＜m＜x₂，由于x₁，x₂是方程（*）的兩個(gè)不相等的根，
因此x₁+x₂=，x₁•x₂=．
（x₁-m）（x₂-m）=x₁•x₂-m （x₁+x₂）+m²=-+m²=，
∵x₁＜m＜x₂，
∴（x₁-m）（x₂-m）＜0，
即＜0，
又因?yàn)閙＜0，且m≠-1，
∴m的取值范圍是：-1＜m＜0．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識，要注意本題中待定系數(shù)的范圍不確定，因此要分類討論．