Question

【題目】將矩形ABCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，AD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，連接EF，且CE＝3CF，如圖1．

（1）試判斷△BDE的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）若∠DEF＝45°，求tan∠CDE的值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)G在BD上，且不與B、D兩點(diǎn)重合，連接EG并延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使得EH＝BE，連接BH、DH，將△BDH沿DH翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在EH的延長(zhǎng)線上，如圖2．當(dāng)BH＝8時(shí)，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）△BDE是等腰三角形；理由見(jiàn)解析；（2）tan∠CDE＝；（3）GH＝．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得：，由等角對(duì)等邊可得是等腰三角形；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：，設(shè)，，由勾股定理得，，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)定義可得，最后利用勾股定理列方程可得與的關(guān)系，從而得結(jié)論；

（3）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明，得，從而由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，證明，列比例式可得結(jié)論．

解：（1）是等腰三角形，

理由是：如圖1，四邊形是矩形，

，

，

由折疊得：，

，

，

是等腰三角形；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，

，

，

四邊形是矩形，

，

，

設(shè)，，

，

，

，，

，

設(shè)，

，

，

，

，即，

解得：或（舍，

；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，

由折疊得：，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，，，

，

由（2）知：，則，

，

，，

，

，

．