【題目】如圖,P,Q,R,S四個小球分別從正方形的四個頂點A,B,C,D同時出發(fā),以同樣的速度分別沿AB,BC,CD,DA的方向滾動,其終點分別是B,C,D,A.

(1)不管滾動多長時間,求證:連接四個小球所得的四邊形PQRS總是正方形.

(2)四邊形PQRS在什么時候面積最大?

(3)四邊形PQRS在什么時候面積為原正方形面積的一半?并說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)P,Q,R,S在出發(fā)時或在到達(dá)終點時面積最大;(3)當(dāng)P,Q,R,S四點運(yùn)動到正方形ABCD各邊中點時,四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半.

【解析】試題分析: 根據(jù)已知可確定 進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì),可判定 之間是否全等,從而可初步判斷四邊形 的形狀,判斷出四邊形為菱形后,只需證明其中有一個角等于 ,便可證明四邊形為正方形.

當(dāng) 在出發(fā)時或在到達(dá)終點時面積最大,此時的面積就等于原正方形的面積.

當(dāng)四點運(yùn)動到正方形四邊中點時,四邊形的面積是原正方形 面積的一半.

試題解析:∵四邊形 是正方形,

.

又∵不管滾動多長時間,

∴不管滾動多長時間,四邊形是菱形.又

∴不管滾動多長時間,四邊形總是正方形.

當(dāng) 在出發(fā)時或在到達(dá)終點時面積最大,此時的面積就等于原正方形的面積.

當(dāng)四點運(yùn)動到正方形四邊中點時,四邊形的面積是原正方形面積的一半.

理由:設(shè)原正方形 的邊長為

當(dāng)時,在 中,

由勾股定理,得

解得 同理可得

∴當(dāng)四點運(yùn)動到正方形各邊中點時,四邊形的面積為原正方形面積的一半.

練習(xí)冊系列答案
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