Question

【題目】為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件8元，出廠價(jià)為每件10元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500．

（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？

（2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？

（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3410元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？

Answer 1

【答案】（1）600元；（2）單價(jià)定為29元，每月獲得最大利潤4410元；（3）500元

【解析】

（1）把x＝20代入y＝10x＋500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)；
（2）由總利潤＝銷售量每件純賺利潤，得w＝（x8）（10x＋500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤；
（3）令10x2＋580x4000＝3410，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤的范圍，然后設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．

解：（1）當(dāng)x＝20時(shí)，y＝10x＋500＝10×20＋500＝300，
300×（108）＝300×2＝600元，
即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元．
（2）由題意得，w＝（x8）（10x＋500）=10x2＋580x4000=-10（x-29）2+4410，

∵a＝10＜0，

∴當(dāng)x＝29時(shí)，w有最大值4410元．
即當(dāng)銷售單價(jià)定為29元時(shí)，每月可獲得最大利潤4410元．
（3）由題意得：10x2＋580x4000＝3410，
解得：x1＝19，x2＝39．
∵a＝10＜0，拋物線開口向下，

∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)19≤x≤39時(shí)，w≥3410．
又∵x≤25，
∴當(dāng)19≤x≤25時(shí)，w≥3410．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，
∴p＝（108）×（10x＋500）
＝20x＋1000．
∵20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝25時(shí)，p有最小值500元．
即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．