Question

已知如圖，AB為半圓的直徑，C、D為半圓弧上的兩點，若弧CD=弧BD，DC與BA的延長線交于P，如果，AP：CP=3：4，△ADB的面積為16

5

，則AP的長為

 

．

Answer 1

分析：連OD、AC可以根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理證明AC∥OD，則CD即可利用圓的半徑表示出來，進而表示出BD，在直角△ABD中利用勾股定理即可求得AD，再根據(jù)△ADB的面積為16

5

可以得到關(guān)于半徑的方程求得圓的半徑，利用切割線定理即可求解．

解答：解：設(shè)AO=R，連OD、AC．
∵

CD

=

BD

∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AC∥OD，
∴

AO

CD

=

PA

PC

=

3

4

，
∴CD=

4

3

R，
∴BD=

4

3

R，
∴AD=

AB2-BD2

=

(2R)2-( 4 3 R)2

=

2 5

3

R，
由S_△AOB=16

5

，
得：

1

2

•

2 5

3

R•

4

3

R=16

5

，
∴R=6，
∵PA•PB=PC•PD，設(shè)PA=x，則x（x+12）=

4

3

x（

4

3

x+8），
∴x=

12

7

．
故PA=

12

7

．

點評：本題主要考查了切割線定理，勾股定理，證得AC∥OD，利用半徑表示出BD的長，利用勾股定理求得圓的半徑是解題的關(guān)鍵．