【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 的對(duì)稱(chēng)軸為直線 ,頂點(diǎn)為A.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)OA、OP.
①當(dāng)OA⊥OP時(shí),求OP的長(zhǎng);
②過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線交對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B,聯(lián)結(jié)OB,當(dāng)∠OAP=∠OBP時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】
(1)解: 拋物線 的對(duì)稱(chēng)軸為直線
頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)
(2)解:設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與 軸的交點(diǎn)為E.①如圖,

在直角三角形AOE和直角三角形POE中,
;
②如圖,過(guò)點(diǎn)B作AP的垂線,垂足為F,

設(shè)點(diǎn) ,
中,

整理得: 解得 (舍).
【解析】(1)拋物線 y = a x 2 + x 的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x = 2可列關(guān)于a的方程,拋物線的表達(dá)式可求;根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求頂點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)①在直角三角形AOE和直角三角形POE中,根據(jù)已知條件可證兩個(gè)三角形相似,從而得到成比例線段,OP的長(zhǎng)可求;②過(guò)點(diǎn)B作AP的垂線,垂足為F,可證△BPF△PO,從而得到成比例線段,a的值可求,點(diǎn)B的坐標(biāo)亦可求。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1) 如圖1,若AC=2BC,求證:AD=2BD

(2) 如圖2,若∠ACD=30°,連AF并延長(zhǎng)交BCG點(diǎn),求的值

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(1)求過(guò)O,A,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),PA=QA?

(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,是否存在點(diǎn)M,使以A,B,M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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