Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），C（0，﹣5）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．

（1）若直線(xiàn)y=mx+n經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求直線(xiàn)BC和拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線(xiàn)上BC段有另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心作⊙Q，使得⊙Q與直線(xiàn)BC相切，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中是否存在一個(gè)最大⊙Q？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出最大⊙Q的半徑；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵對(duì)稱(chēng)軸為x=2，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），

∴B（5，0）．

把B（5，0），C（0，﹣5）分別代入y=mx+n得 ，解得： ，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣5．

設(shè)y=a（x﹣5）（x+1），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：﹣5a=﹣5，解得：a=1，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：①過(guò)點(diǎn)C作CP1⊥BC，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1，如圖，

則直線(xiàn)CP1的解析式為y=﹣x﹣5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P1（3，﹣8）；

②過(guò)點(diǎn)B作BP2⊥BC，交拋物線(xiàn)于P2，如圖，

則BP2的解析式為y=﹣x+5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P2（﹣2，7）

（3）

解：由題意可知，Q點(diǎn)距離BC最遠(yuǎn)時(shí)，半徑最大．平移直線(xiàn)BC，使其與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)Q（即相切），設(shè)平移后的直線(xiàn)解析式為y=x+t，

由 ，消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0，

△=25+4（5+t）=0，解得t=﹣ ，

∴平移后與拋物線(xiàn)相切時(shí)的直線(xiàn)解析式為y=x﹣ ，且Q（ ，﹣ ），

連接QC、QB，作QE⊥BC于E，如圖，

設(shè)直線(xiàn)y=x﹣ 與y軸的交點(diǎn)為H，連接HB，

則 ，

∵CH=﹣5﹣（﹣ ）= ，

∴ = ，

∴ ，

∵ ，BC= ，

∴QE= ，

即最大半徑為

【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及A點(diǎn)坐標(biāo)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線(xiàn)BC解析式，再由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)得出拋物線(xiàn)解析式；（2）分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作BC的垂線(xiàn)，得出垂線(xiàn)的解析式，與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立解出P點(diǎn)；（3）平移BC到與拋物線(xiàn)剛好相切之處，此時(shí)的切點(diǎn)即為Q點(diǎn)，此時(shí)Q點(diǎn)距BC的距離最大，也就是半徑最大．由于初中階估沒(méi)學(xué)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，那么這里可以用等面積法進(jìn)行處理．設(shè)切線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為H，則△HBC與△QBC的面積相等，算出面積，再以BC為底，算出BC邊上的高即為答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．