Question

20、如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，取邊AB的中點(diǎn)G，連接EG．
（1）求證：EG=CF；
（2）將△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請?jiān)趫D中直接畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn)后CF與EG的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）G、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，則∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余關(guān)系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，可證△AGE≌△ECF，得出結(jié)論；
（2）旋轉(zhuǎn)后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可判斷旋轉(zhuǎn)后CF與EG平行．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD，點(diǎn)G，E為邊AB、BC中點(diǎn)，
∴AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF為正方形外角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴EG=CF；

（2）畫圖如圖所示，
旋轉(zhuǎn)后CF與EG平行．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)尋找判定三角形全等的條件．