Question

【題目】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H，連接CH．

（1）如圖1，若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DH，過(guò)點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于點(diǎn)K，連接CK，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CK長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）CH=AB；（2）當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．證明見(jiàn)解析.（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．

（2）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．

（3）首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得CK＜AC+AK，據(jù)此判斷出當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí)，CK的長(zhǎng)最大；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK=DH，再根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK=CH=AB；最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB，求出線段CK長(zhǎng)的最大值是多少即可．

試題解析：（1）如圖1，連接BE，

，

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，

∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，DE=DF，

∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，

∴AF=CE，

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠1=∠2，

∵EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴∠4=∠HBC，

∴CH=BC，

又∵AB=BC，

∴CH=AB．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．

如圖2，連接BE，

，

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，

∵AD=CD，DE=DF，

∴AF=CE，

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠1=∠2，

∵EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴∠4=∠HBC，

∴CH=BC，

又∵AB=BC，

∴CH=AB．

（3）如圖3，

，

∵CK≤AC+AK，

∴當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí)，CK的長(zhǎng)最大，

∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，

∴∠KDF=∠HDE，

∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，

∠DFK+∠DFH=180°，

∴∠DFK=∠DEH，

在△DFK和△DEH中，

∴△DFK≌△DEH，

∴DK=DH，

在△DAK和△DCH中，

∴△DAK≌△DCH，

∴AK=CH

又∵CH=AB，

∴AK=CH=AB，

∵AB=3，

∴AK=3，AC=3，

∴CK=AC+AK=AC+AB=，

即線段CK長(zhǎng)的最大值是．