【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y= x2+bx+c(b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),C的坐標(biāo)為(4,3),直角頂點(diǎn)B在第四象限.
(1)如圖,若該拋物線過(guò)A,B兩點(diǎn),求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)平移(1)中的拋物線,使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),且與AC交于另一點(diǎn)Q.
(i)若點(diǎn)M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);
(ii)取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ.試探究 是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),C的坐標(biāo)為(4,3)
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,﹣1).
∵拋物線過(guò)A(0,﹣1),B(4,﹣1)兩點(diǎn),
∴ ,解得:b=2,c=﹣1,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y= x2+2x﹣1
(2)
解:方法一:
i)∵A(0,﹣1),C(4,3),
∴直線AC的解析式為:y=x﹣1.
設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P0,則由(1)可得P0的坐標(biāo)為(2,1),且P0在直線AC上.
∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),∴可設(shè)P的坐標(biāo)為(m,m﹣1),
則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y= (x﹣m)2+m﹣1.
解方程組: ,
解得
∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3).
過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸,過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸,則
PE=m﹣(m﹣2)=2,QF=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2.
∴PQ= =AP0.
若以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:
①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為 (即為PQ的長(zhǎng)).
由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,
△ABP0為等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0= .
如答圖1,過(guò)點(diǎn)B作直線l1∥AC,交拋物線y= x2+2x﹣1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).
∴可設(shè)直線l1的解析式為:y=x+b1,
∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5,
∴直線l1的解析式為:y=x﹣5.
解方程組 ,得:
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7).
②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):MP=MQ=2,可求得點(diǎn)M到PQ的距離為 .
如答圖2,取AB的中點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,﹣1).
由A(0,﹣1),F(xiàn)(2,﹣1),P0(2,1)可知:
△AFP0為等腰直角三角形,且點(diǎn)F到直線AC的距離為 .
過(guò)點(diǎn)F作直線l2∥AC,交拋物線y= x2+2x﹣1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).
∴可設(shè)直線l2的解析式為:y=x+b2,
∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得b2=﹣3,
∴直線l2的解析式為:y=x﹣3.
解方程組 ,得:
∴M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).
綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).
方法二:
∵A(0,1),C(4,3),
∴l(xiāng)AC:y=x﹣1,
∵拋物線頂點(diǎn)P在直線AC上,設(shè)P(t,t﹣1),
∴拋物線表達(dá)式: ,
∴l(xiāng)AC與拋物線的交點(diǎn)Q(t﹣2,t﹣3),
∵一M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,P(t,t﹣1),
①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí),M(t,t﹣3), ,
∴t=1± ,
∴M1(1+ , ﹣2),M2(1﹣ ,﹣2﹣ ),
②當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M可視為點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成,
將點(diǎn)Q(t﹣2,t﹣3)平移至原點(diǎn)Q′(0,0),則點(diǎn)P平移后P′(2,2),
將點(diǎn)P′繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則點(diǎn)M′(2,﹣2),
將Q′(0,0)平移至點(diǎn)Q(t﹣2,t﹣3),則點(diǎn)M′平移后即為點(diǎn)M(t,t﹣5),
∴ ,
∴t1=4,t2=﹣2,
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),
③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí),同理可得M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),
綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).
ii) 存在最大值.理由如下:
由i)知PQ= 為定值,則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí), 有最大值.
如答圖2,取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(0,3),BQ=B′Q.
連接QF,F(xiàn)N,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四邊形PQFN為平行四邊形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′= .
∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為 .
∴ 的最大值為
【解析】(1)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)i)首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度,作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ).若△MPQ為等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為 .此時(shí),將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線(y=x﹣5)與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn);②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為 .此時(shí),將直線AC向右平移2個(gè)單位后所得直線(y=x﹣3)與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn).ii)由(i)可知,PQ= 為定值,因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí), 有最大值.如答圖2所示,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,由分析可知,當(dāng)B′、Q、F(AB中點(diǎn))三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為線段B′F的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1,3,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( ) ①ac<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④對(duì)于任意x均有ax2+bx≥a+b.
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】高臺(tái)縣為加快新農(nóng)村建設(shè),建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,對(duì)A、B兩類村莊進(jìn)行了全面改建.根據(jù)預(yù)算,建設(shè)一個(gè)A類美麗村莊和一個(gè)B類美麗村莊共需資金300萬(wàn)元;巷道鎮(zhèn)建設(shè)了2個(gè)A類村莊和5個(gè)B類村莊共投入資金1140萬(wàn)元.
(1)建設(shè)一個(gè)A類美麗村莊和一個(gè)B類美麗村莊所需的資金分別是多少萬(wàn)元?
(2)駱駝城鎮(zhèn)改建3個(gè)A類美麗村莊和6個(gè)B類美麗村莊共需資金多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(感知)如圖①,AB∥CD,點(diǎn)E在直線AB與CD之間,連結(jié)AE、BE,試說(shuō)明∠BEE+∠DCE=∠AEC.下面給出了這道題的解題過(guò)程,請(qǐng)完成下面的解題過(guò)程,并填空(理由或數(shù)學(xué)式):
解:如圖①,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB
∴∠BAE=∠1( )
∵AB∥CD( )
∴CD∥EF( )
∴∠2=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2( )
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC
(探究)當(dāng)點(diǎn)E在如圖②的位置時(shí),其他條件不變,試說(shuō)明∠AEC+∠FGC+∠DCE=360°;
(應(yīng)用)點(diǎn)E、F、G在直線AB與CD之間,連結(jié)AE、EF、FG和CG,其他條件不變,如圖③.若∠EFG=36°,則∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG= °.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某面粉加工廠加工的面粉,用每袋可裝10g面粉的袋子裝了200袋經(jīng)過(guò)稱重,質(zhì)量超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量10kg的用正數(shù)表示,質(zhì)量低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量10kg的用負(fù)數(shù)表示,結(jié)果記錄如下
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的偏差(kg) | ﹣1.5 | ﹣1 | ﹣0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 |
袋數(shù)(袋) | 40 | 30 | 10 | 25 | 40 | 20 | 35 |
(1)求這批面粉的總質(zhì)量;
(2)如果100kg小麥加工80kg面粉,那么這批面粉是由多少千克小麥加工的?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中∠C=90°,∠A=30°,BC=2,點(diǎn)P,Q,R分別是AB,AC,BC上的動(dòng)點(diǎn),PQ+PR+QR的最小值是_____.
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【題目】已知∠ABC=90°,點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合),分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ,連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F.
(1)如圖1,若AB=,點(diǎn)A,E,P恰好在一條直線上時(shí),求EF的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果);
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí),求證:BF=EF;
(3)若AB=,設(shè)BP=2,求QF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,對(duì)正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作:
(i)過(guò)點(diǎn)D任作一條直線與BC邊相交于點(diǎn)E1(如圖①),記∠CDE1=α1;
(ii)作∠ADE1的平分線交AB邊于點(diǎn)E2(如圖②),記∠ADE2=α2;
(iii)作∠CDE2的平分線交BC邊于點(diǎn)E3(如圖③),記∠CDE3=α3;
按此作法從操作(2)起重復(fù)以上步驟,得到α1 , α2 , …,αn , …,現(xiàn)有如下結(jié)論:①當(dāng)α1=10°時(shí),α2=40°;②2α4+α3=90°; ③當(dāng)α5=30°時(shí),△CDE9≌△ADE10;④當(dāng)α1=45°時(shí),BE2= .
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系上,△ABC的頂點(diǎn)A和C分別在x軸、y軸的正半軸上,且AB∥y軸,點(diǎn)B(1,3),將△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△DBE,恰好有一反比例函數(shù)y= 圖像恰好過(guò)點(diǎn)D,則k的值為( )
A.6
B.﹣6
C.9
D.﹣9
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