Question

已知：如圖（1），△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，0A在x軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)；△OCA是一個(gè)等腰三角形，OC＝AC，頂點(diǎn)C在第四象限，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.

1.求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值范圍；

2.在OA上（點(diǎn)O、A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

3.如圖（2），現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

 

1.過點(diǎn)作于點(diǎn)．（如圖①）

∵，，∴．

      ∵，， ∴．

   在Rt中， 

當(dāng)時(shí)，,,；

過點(diǎn)作于點(diǎn)．（如圖①）

     在Rt中，∵，∴，

∴．

     即 ．………………………………………2分

2.當(dāng)時(shí)，（如圖②）

，．

∵，，∴．

∴．

即．

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，……………4分

或        …………………6分

3.的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．

延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．（如圖③）

∵，∴≌．

∴，  …………………7分

       ∴．

        ∴． 又∵．

   ∴≌．∴   ……………………………………9分

∴．

∴的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4   ……………………………………10分

解析:（1）由于點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C需要 秒，點(diǎn)P從點(diǎn)A→O→B需要 秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜ ；②≤t＜．針對(duì)每一種情況，根據(jù)P點(diǎn)所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并且得出自變量t的取值范圍

（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上兩種情形．每一種情形，都有可能O為頂點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，分別討論，得出結(jié)果；

（3）如果延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周長(zhǎng)=BA+BO=4．