【題目】如圖點分別是邊長為4cm的等邊三角形邊動點，點從頂點沿向點運動，點同時從頂點沿向運動，它們的速度都是，當?shù)竭_終點時停止運動，設運動時間為t秒，連接交于點M．

（1）求證：；

（2）點在運動的過程中，變化嗎？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

（3）當為何值時是直角三角形？

【答案】（1）證明見解析；（2）不變，；（3）當t=秒或t=秒時三角形是直角三角形．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可知AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，結合AP＝BQ即可得證；
（2）由△APC≌△BQA知∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質可證得∠CMQ＝60°；
（3）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質可得到關于t的方程，則可求得t的值．

解：（1）

因為是等邊三角形，所以

因為

所以

（2） 不變

因為

所以

因為是外角，

所以，

（3）由題意得：，

當時，因為

所以

當時，

所以當秒或秒時三角形是直角三角形．

練習冊系列答案
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，⊙O的半徑為4，A、C兩點在⊙O上，點B在⊙O內，，AB⊥AC，若OB⊥OC，那么OB的長為__________．

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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點B，C，正方形AOCD的頂點D在第二象限內，E是BC中點，OF⊥DE于點F，連結OE，動點P在AO上從點A向終點O勻速運動，同時，動點Q在直線BC上從某點Q1向終點Q2勻速運動，它們同時到達終點．

（1）求點B的坐標和OE的長；

（2）設點Q2為(m，n)，當tan∠EOF時，求點Q2的坐標；

（3）根據(jù)（2）的條件，當點P運動到AO中點時，點Q恰好與點C重合．

①延長AD交直線BC于點Q3，當點Q在線段Q2Q3上時，設Q3Q＝s，AP＝t，求s關于t的函數(shù)表達式．

②當PQ與△OEF的一邊平行時，求所有滿足條件的AP的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】地下停車場的設計大大緩解了住宅小區(qū)停車難的問題，如圖是龍泉某小區(qū)的地下停車庫坡道入口的設計示意圖，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根據(jù)規(guī)定，地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標志，以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛入．小剛認為CD的長就是所限制的高度，而小亮認為應該以CE的長作為限制的高度．小剛和小亮誰說得對？請你判斷并計算出正確的限制高度．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）

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【題目】連接正方形四邊的中點所構成的正方形，我們稱其原正方形的中點正方形，如圖，已知正方形的中點正方形，再作正方形的中點正方形，這樣不斷下去，第n次所做的中點正方形，若正方形的邊長為1，若設中點正方形的面積為，則___________．

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【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE，CF相交于點D.

(1)求證：BE＝CF；

(2)當α＝90°時，求四邊形AEDC的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】劉徵是我國古代最杰出的數(shù)學家之一，他在《九算術圓田術）中用“割圓術”證明了圓面積的精確公式，并給出了計算圓周率的科學方法（注：圓周率＝圓的周長與該圓直徑的比值）“割圓術”就是以“圓內接正多邊形的面積”，來無限逼近“圓面積”，劉徽形容他的“割圓術”說：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．劉徽計算圓周率是從正六邊形開始的，易知圓的內接正六邊形可分為六個全等的正三角形，每個三角形的邊長均為圓的半徑R．此時圓內接正六邊形的周長為6R，如果將圓內接正六邊形的周長等同于圓的周長，可得圓周率為3．當正十二邊形內接于圓時，如果按照上述方法計算，可得圓周率為_____．（參考數(shù)據(jù)：sinl5°＝0.26）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著移動終端設備的升級換代，手機已經成為我們生活中不可缺少的一部分，為了解中學生在假期使用手機的情況（選項：（A）和同學親友聊天；（B）學習：（C）購物；（D）游戲；（E）其他），端午節(jié)后某中學在全校范圍內隨機抽取了若干名學生進行調查，得到如下圖表（部分信息未給出）：

選項

頻數(shù)

頻率

A

B

C

D

E

根據(jù)以上信息解答下列問題：

（1）求本次參與調查的總人數(shù)．

（2）___________，___________，___________，并補全條形統(tǒng)計圖．

（3）若該中學約有800名學生，估計全校學生中利用手機購物或玩游戲的共有多少人？并根據(jù)以上調查結果，就中學生如何合理使用手機給出你的一條建議．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點，是的切線；交于點．

（1）求證：；

（2）填空：①若的面積為，則的面積為 　　　 ；

②當的度數(shù)為 　　　 時，四邊形是菱形．

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