(2007•上海模擬)已知:如圖,在△OAP中,OA=6,sin∠POA=
3
5
,cot∠PAO=
2
3
,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、A、P三點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)在x軸的下方,且在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M,使得△MOP與△AOP的面積相等.
分析:(1)過點(diǎn)P作PH⊥OA,垂足為點(diǎn)H,將原圖分為兩個(gè)直角三角形,利用銳角三角函數(shù)的定義,列方程求解;
(2)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,由O、A、P三點(diǎn)坐標(biāo)代入,列方程求a、b、c的值,確定拋物線解析式;
(3)根據(jù)二次函數(shù)解析式可知,對(duì)稱軸為x=3,可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,y),二次函數(shù)的對(duì)稱軸與OP相交于點(diǎn)C,由P點(diǎn)坐標(biāo)可求直線OP解析式,把x=3代入可求C點(diǎn)坐標(biāo),由S△MOP=S△COM+S△PCM,S△MOP=S△AOP,列方程求M點(diǎn)縱坐標(biāo)y即可.
解答:解:(1)過點(diǎn)P作PH⊥OA,垂足為點(diǎn)H.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則OH=x,PH=y. (1分)
sin∠POA=
3
5
,∴tan∠POA=
3
4
.∴
PH
OH
=
3
4
.∴OH=
4
3
y
. (1分)
∵cot∠PAO=
2
3
,∴
AH
PH
=
2
3
.∴AH=
2
3
y
. (1分)
∵OA=OH+AH=6,∴
4
3
y+
2
3
y=6
. (1分)
∴y=3.∴x=4.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3). (1分)
(2)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c.
由題意,得
0=c
0=36a+6b+c 
3=16a+4b+c 
(1分)
解得
a=-
3
8
 
b=
9
4
c=0 
(1分)
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-
3
8
x2+
9
4
x
. (1分)
(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,y),二次函數(shù)的對(duì)稱軸與OP相交于點(diǎn)C.
由題意,得 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,
9
4
). (1分)
∴S△MOP=S△COM+S△PCM=
1
2
(
9
4
-y)×3+
1
2
(
9
4
-y)×1=
1
2
(
9
4
-y)×4=2(
9
4
-y)

(1分)
而S△MOP=S△AOP,S△AOP=
1
2
×6×3=9
,(1分)
2(
9
4
-y)=9
.∴y=-
9
4

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-
9
4
). (1分)
另解:設(shè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B,連接MA.
∵△MOP與△AOP的面積相等,且OP是公共邊,
∴點(diǎn)M到OP與點(diǎn)A到OP的距離相等. (1分)
∴AM∥OP.
∴∠MAB=∠POA.(1分)
∴tan∠MAB=tan∠POA=
3
4

∵AB=3,∴
BM
3
=
3
4
. (1分)
BM=
9
4

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-
9
4
). (1分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是利用直角三角形的邊角關(guān)系求點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、A、P三點(diǎn),求拋物線解析式,根據(jù)三角形面積相等,列方程求M點(diǎn)的坐標(biāo).
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6
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